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= 柯西不等式 =

柯西不等式（Cauchy-Schwarz不等式）是数学中的一个重要不等式，在线性代数、数学分析等多个领域中有广泛应用。它说明了在实或复数向量空间中，两个向量的点积的绝对值不大于这两个向量的模的乘积。

== 定义 ==
对于任意实数序列<math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math>和<math>b_1, b_2, \ldots, b_n</math>，柯西不等式可以表示为：
<math>\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)</math>

在欧几里得空间中，若以向量形式表示，对于任意向量<math>\vec{a}</math>和<math>\vec{b}</math>：
<math>(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq (\vec{a} \cdot \vec{a}) (\vec{b} \cdot \vec{b})</math>

== 历史背景 ==
这个不等式最早由奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出。后来，赫尔曼·施瓦茨也独立发现了这一结果，因此这个不等式有时也被称为柯西-施瓦茨不等式。

== 推导过程 ==
考虑实数序列<math>\{a_i\}</math>和<math>\{b_i\}</math>，构造一个关于实数<math>t</math>的二次函数：
<math>f(t) = \sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2</math>
显然，对于所有的<math>t</math>，有<math>f(t) \geq 0</math>。展开并重新组合，可以得到关于<math>t</math>的二次方程。因为这个方程的判别式必须小于或等于0，所以可以推导出柯西不等式。

== 应用场景 ==
柯西不等式在物理学中描述能量和功的关系，在统计学中用于相关系数的计算，在机器学习的支持向量机算法中也有重要应用。此外，它也是许多数学证明的基础工具。