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重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

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'''二分法'''（bisection method）是求连续实函数零点的区间迭代算法。在一个端点函数值异号的闭区间内，反复计算中点，并保留仍然异号的半个区间，从而把至少一个零点夹在越来越短的区间中。它的突出性质是具有可直接计算的位置误差上界，不需要导数，也不要求事先知道零点附近的曲线斜率。

二分法求的是一个区间中的某个零点，不是自动列出全部解。连续性与端点异号是保证的核心；它们分别排除“跳过零值”和“区间内根本没有被夹住的零点”这两类问题。算法、数学保证和计算机停止规则需要一起理解。

== 先夹住一个根，再逐步缩小不确定性 ==
假设一个连续量从负值变成正值，中间必须经过零。对于函数 <math>f:[a,b]\to\mathbb R</math>，其中 <math>a<b</math>，若 <math>f(a)f(b)<0</math>，中间值定理保证存在 <math>r\in(a,b)</math> 使 <math>f(r)=0</math>。初始区间由此不是随意选择的搜索范围，而是一份根存在的证据。

取中点 <math>m=(a+b)/2</math>。若 <math>f(m)=0</math>，已经找到根；否则，中点函数值必与某一个端点同号。丢弃这一侧的一半，保留异号的一半，就不会丢掉“至少有一个根”这一性质。长度减少一半，根的存在保证却保留下来。这种每次循环都成立的性质称为算法不变量。

关键是算法并不知道零点的精确位置，也不需要曲线单调。它通过保留一个有保证的集合来减小不确定性。若初始区间中有多个零点，某次舍弃的那一半可能仍包含别的根，因此不能把舍弃操作理解为证明那一半完全没有根。[https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/10RootFinding/bisection/complete.html University of Waterloo，Bisection Method]

== 输入、循环和输出的明确约定 ==
输入包括连续函数、两个有限端点、所要求的位置精度，以及最大迭代次数。先计算两个端点的函数值；若某端点已经是零，返回该端点。如果二者同号，应报告“没有建立异号夹逼”，而不是报告“函数没有根”。如果数值不是有限实数，则需先处理定义域或溢出问题。

在精确实数运算下，循环可表达为：
# 计算当前区间中点，并检查当前半宽是否满足位置误差要求。
# 计算中点函数值；若它恰为零，返回中点。
# 若中点与左端点异号，令右端点等于中点；否则令左端点等于中点。
# 保存新的端点值，重复上述步骤，直到达到精度或触及迭代上限。
实际程序可直接比较符号，不必计算两个函数值的乘积；乘积可能在端点值本身有限时仍然溢出。重复使用已经计算过的端点值，每轮只需要一个新函数值，这对函数计算昂贵的模型尤其重要。

输出最好包括近似根、最终夹逼区间、半宽误差界、函数残差、迭代次数与停止原因。只返回一个带很多小数的数字，会丢掉二分法最有价值的证据。达到最大次数与达到误差目标是不同状态，不能为了给出结果而把前者标记为成功。

== 收敛证明与迭代次数的计算 ==
令初始区间为 <math>[a_0,b_0]</math>，在完成 <math>n</math> 次保留半区间之后得到 <math>[a_n,b_n]</math>。区间嵌套，长度为
<math display="block">b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}.</math>
左端点单调不减且有上界，右端点单调不增且有下界。实数的完备性保证二者有极限，长度趋零说明极限相同，记为 <math>r</math>。端点函数值始终异号，而连续性使其极限同为 <math>f(r)</math>，故只能有 <math>f(r)=0</math>。这把区间几何、实数完备性与函数连续性连接在一起。

若把当前中点记为 <math>m_n=(a_n+b_n)/2</math>，则根留在区间内，所以
<math display="block">|m_n-r|\le\frac{b_n-a_n}{2}=\frac{b_0-a_0}{2^{n+1}}.</math>
这一估计不依赖导数，也不依赖根的唯一性。为使误差不超过 <math>\varepsilon_x>0</math>，只需完成
<math display="block">n\ge\max\left(0,\left\lceil\log_2\frac{b_0-a_0}{2\varepsilon_x}\right\rceil\right)</math>
次区间缩减。不同教材可能把第一次中点计算记为第一步，因此公式指数有时差一；必须先说明计数约定，而不能只比较外观。

例如初始长度为一，要求位置误差不超过百万分之一，则十九次缩减已足够，因为 <math>2^{-20}<10^{-6}</math>。区间误差每步固定减半，属于稳定可预测的线性收敛。更多迭代并不会像理想牛顿法那样突然成倍增加正确小数位，但它提供了明确的最坏情形成本。

== 算例一：计算平方根二 ==
令 <math>f(x)=x^2-2</math>。在 <math>[1,2]</math> 上函数连续，端点值分别为负一和二，根被夹住。前四次中点检查如下；表中的区间是检查之前的区间。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="平方根二的二分法迭代" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 检查次数 !! 当前区间 !! 中点 !! 中点函数值 !! 保留区间
|-
| 1 || [1, 2] || 1.5 || 0.25 || [1, 1.5]
|-
| 2 || [1, 1.5] || 1.25 || −0.4375 || [1.25, 1.5]
|-
| 3 || [1.25, 1.5] || 1.375 || −0.109375 || [1.375, 1.5]
|-
| 4 || [1.375, 1.5] || 1.4375 || 0.06640625 || [1.375, 1.4375]
|}
</div>

[[File:Gezhi-bisection-interval.svg|frame|center|alt=二分法四轮区间逐步收缩到根号二附近，显示各轮中点和保留区间|从区间 [1,2] 出发，按中点符号保留包含根的一半；虚线是真值位置，金点是各轮试探中点。]]

四次缩减后，若取新夹逼区间的中点作为输出，则得到 <math>1.40625</math>，保证误差不超过 <math>0.03125</math>。这不是第四次被检查的中点，而是更新后区间的中点；两种输出惯例各自可行，但误差上界要与实际返回值相对应。

继续到十次缩减，区间为 <math>[1.4140625,1.4150390625]</math>，中点为 <math>1.41455078125</math>，误差保证为 <math>0.00048828125</math>。近似数不必刚好位于根的同一侧，区间证书已经把不确定性完整表达出来。若想证明根唯一，可另外利用 <math>f'(x)=2x>0</math>；唯一性不是二分迭代能够开始的必要条件。

== 算例二：由余弦方程寻找固定点 ==
考虑 <math>\cos x=x</math>，等价于求 <math>g(x)=\cos x-x</math> 的零点，角度采用弧度。在区间 <math>[0,1]</math> 上，<math>g(0)=1</math>，<math>g(1)<0</math>，所以至少有一个根。其导数为 <math>-\sin x-1<0</math>，故这个区间内根唯一。

中点依次为 <math>0.5,0.75,0.625,0.6875,0.71875,0.734375,0.7421875</math>，相应符号依次为正、负、正、正、正、正、负。七次缩减后根落在 <math>[0.734375,0.7421875]</math>；继续到十次缩减，得到 <math>[0.73828125,0.7392578125]</math>。中点 <math>0.73876953125</math> 的保证误差仍为 <math>2^{-11}</math>。

两例的函数外观和求值方式不同，一个只需乘法，另一个需要三角函数，但夹逼不变量完全相同。这正是通用数值算法的意义。计算三角函数时若把角度制误用为度数，求解的会是另一个函数；迭代本身再准确也不能修复模型输入的语义错误。

== 位置误差、残差与浮点数停止规则 ==
残差 <math>|f(m)|</math> 衡量方程满足得多好，位置误差 <math>|m-r|</math> 衡量近似根离真根多远，二者不是同一个量。对函数 <math>f(x)=10^{-12}(x-1)</math>，点零的残差只有 <math>10^{-12}</math>，离根的距离却是一。仅凭残差小就宣布位置精确，会受函数缩放影响。

如果在包含根与近似点的区间上已知 <math>|f'(x)|\ge\mu>0</math>，中值定理才给出 <math>|m-r|\le|f(m)|/\mu</math>。二分法的区间半宽不需要这种额外假设，所以通常以位置容差为主要保证。若问题本身关注方程残差，也可同时检查两种目标，清楚标明各自单位。

实际程序常采用绝对与相对容差的组合，例如要求半宽不超过 <math>\mathrm{atol}+\mathrm{rtol}|m|</math>，其中绝对容差为正。接近零的根不能只用相对误差，因为参照尺度也会接近零。函数有噪声时，还应承认符号判断存在可信度限制，不能继续声称严格保持精确数学中的异号条件。

浮点数只有有限密度，区间很短时计算出的中点可能等于某个端点，继续迭代便不再缩小区间。程序应检测这种停滞并报告达到表示精度限制。计算中点也需留意大数溢出；常用 <math>a+(b-a)/2</math> 可以减少同号大数相加的风险，但极端异号大数的差仍可能溢出，严谨库函数会采用更稳健的分支实现。

== 失败例：条件为何不可少 ==
对 <math>f(x)=1/x</math>，若只看负一与一两端，函数值异号，但区间中没有零点，而且零处函数未定义。二分可能趋向奇点，区间缩小却不能证明找到根。连续性是把符号变化变成零值存在的桥梁；它不能通过有限次采样自动证明，必须来自函数分析或明确模型假设。

反过来，对 <math>f(x)=x^2</math>，零是一个根，但任何跨过零且端点不为零的区间两端都同为正。标准异号二分法不能从这些端点启动。端点同号只说明这份证据不足，不说明没有根。偶重根尤其容易在仅检测符号变化的扫描中被遗漏，寻找全部根需要更强的信息或其他方法。

对一个具有多个根的连续函数，算法最终保留哪一个根依赖初始区间与中点符号。即使根唯一，函数求值错误、单位错误或把不连续片段放进初始区间，也会破坏保证。把算法称为“可靠”指的是在已陈述条件和可信计算之下有证明，不表示它能替使用者验证所有模型前提。

二分法可以与[[牛顿法]]配合：先保留可靠夹逼区间，尝试更快的牛顿步；若候选点离开区间、导数太小或进展不佳，就退回二分。这样保留区间证据，同时利用局部曲线信息。具体混合算法还要规定可接受步的条件，不能仅把两种公式交替写出就宣称有完整收敛证明。

== 找到初始区间与验证根的数量 ==
在实际问题中，最费判断的步骤有时是建立初始区间。若参数有明确物理范围，可以先分析函数在范围端点的符号；若没有，可以围绕一个初值逐步扩大搜索范围，同时监测函数是否仍有定义。扩大范围只是搜寻证据的方法，不保证所有连续函数最终都出现异号端点，例如始终为正的函数就不会出现。

在网格上扫描相邻样本的符号，可以发现一些夹逼区间，却不能据此宣布找到了全部根。两个根可能落在同一网格小段内，使两端同号；偶重根甚至不改变符号。若目标是完整枚举多项式的实根，可以结合导数分割单调区间或使用专门代数方法。求一个已夹住的根与证明所有根已找到，是不同任务。

严格单调性常能提供唯一性。若区间内函数严格递增且端点异号，便恰有一个根；导数处处为正是常用但不是唯一的单调性充分条件。二分法本身只保留存在性，唯一性证据来自额外分析。把这两种证据分别记录下来，后续解释算法结果时会更清楚。

对模型输出寻找阈值也可以化为求根。若水位预测函数为 <math>H(t)</math>，目标水位为 <math>H_*</math>，令 <math>f(t)=H(t)-H_*</math>，二分便可求达到阈值的时刻。但如果水位在区间中多次升降，所找到的可能不是首次达到的时刻；首次事件需要时间顺序扫描及更明确的模型性质。算法公式没有变化，任务含义却增加了约束。

变量缩放有助于设置容差。若原变量以秒计而范围跨越多年，先把时间换成相对于某个基准的无量纲变量，能使相对容差更易解释，也可减少某些浮点问题。最终误差界必须再换回原单位。输出为某个时刻附近的窄区间，比只写一个不带单位的数字更能说明模型允许的精度。

一次可复核计算应保存函数版本、初始端点、容差与停止状态；若函数来自带随机噪声的模拟，还应说明重复求值是否会改变符号。二分法的证明假设每次评估同一个确定函数，随机输出需要另行设计统计判断，不能假装每轮的正负号都是精确事实。

输出根区间时还应保留足够有效数字，避免把两个不同端点四舍五入成同一个显示值；显示格式不能夸大内部计算已经达到的精度。

== 历史与算法定位 ==
逐次折半是一种很早出现的计算思想，不能简单把现代通用二分程序归给某个唯一发明者。其分析基础与连续函数中间值定理的严格化密切相关：玻尔查诺于 1817 年发表相关证明，柯西随后在分析体系中使用逐步缩小区间的思路。讨论这种历史应区分计算程序、存在性证明以及现代浮点实现，不把后来的程序细节倒写进早期文献。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano/ MacTutor：Bolzano]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Grattan-Guinness_books/ 数学史书评对相关证明的比较]

== English overview ==
<div lang="en" class="math-english-summary">
The bisection method finds a zero of a continuous real function by maintaining an interval whose endpoint values have opposite signs. Each midpoint evaluation selects a half-interval that retains this property. The method therefore reduces uncertainty while preserving evidence that at least one root remains inside.

After a specified number of interval reductions, the width is the initial width divided by a power of two. Returning the midpoint gives a position-error bound equal to half the final width. Iteration counting and the choice of returned point must be stated consistently. A small function residual is a different measure: without a lower bound on the derivative, it does not necessarily imply a small error in the root's position.

Continuity is essential. A sign change across a pole does not establish a zero, and equal endpoint signs do not prove that no root exists. Even-multiplicity roots can escape a sign-change search. Practical implementations must handle endpoints, nonfinite evaluations, iteration limits, unreliable signs, and floating-point stagnation. The result should include its bracket and stopping reason, not merely many decimal digits. Bisection is predictable rather than rapidly convergent, making it a useful safeguard for faster local methods such as Newton iteration.
</div>

== 编者评注（AI 辅助） ==
<div class="math-editorial-note">
本站把夹逼区间作为二分法的主要输出，因为它比一个孤立近似数更能表达算法已经证明什么。算例特意区分更新前中点与更新后中点，避免迭代次数和误差界差一位。连续性失败、偶重根与残差缩放分别检验三种不同前提。这样的组织旨在把“折半”的直觉提升为带证书的数值方法，同时保持数学保证与浮点实现限制之间的清楚边界。
</div>

== 参考资料与知识联系 ==
* Douglas Wilhelm Harder，[https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/10RootFinding/bisection/complete.html Topic 10.1: Bisection Method]，University of Waterloo：算法与误差分析背景；本文采用返回最终中点的计数约定。
* MacTutor，University of St Andrews：[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano/ Bernard Bolzano]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Grattan-Guinness_books/ Grattan-Guinness books] 中对玻尔查诺与柯西证明的评论。
* 前置：[[函数]]、[[极限]]、[[连续映射]]；比较：[[牛顿法]]；应用背景：[[数学建模]]。
[[分类:数值分析]]

二分法 - 版本历史

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