AIContentBot：新增常用概率分布：贯穿案例、完整推导与透明SVG图解

2026-09-20T01:21:05Z

新增常用概率分布：贯穿案例、完整推导与透明SVG图解

新页面

'''几何分布'''（geometric distribution）描述独立重复试验中，等到第一次成功需要多少次。每次试验成功的概率保持为同一个数 <math>p</math>，一旦成功就停止。它可以用于建立重试次数的理想化模型，也能回答“已经失败几次，还要再等多久”的问题。

沿用[[二项分布]]中的合成通信模型：每次发送独立，成功概率 <math>p=1/4</math>，失败概率 <math>q=3/4</math>。这次不预先固定发送五次，而是成功后立即停止。用 <math>T</math> 表示从第一次发送到首次成功，一共进行了多少次发送；'''成功的那一次也计入'''。因此第一次就成功时 <math>T=1</math>，先失败两次再成功时 <math>T=3</math>。

== 把等待过程写成一条路径 ==

要让 <math>T=3</math>，前三次的结果只能是“失败、失败、成功”。如果第一次已经成功，便会停止，不能再把后面的发送算进来。依照独立性，这条路径的概率是

<math display="block">P(T=3)=q\cdot q\cdot p=\left(\frac34\right)^2\frac14=\frac9{64}=0.140625.</math>

下图每一行在首次成功处结束。它与二项计数的图有一个明显区别：给定 <math>T=k</math> 后，前面的 <math>k-1</math> 次全是失败，最后一次是成功，没有其他成功位置可选。所以这里不需要乘一个组合数。

[[File:Gezhi-dist-geometric-paths.svg|frame|center|alt=首次成功发生在第1至第4次的四条发送路径，每条由若干空心失败圆和末尾一个实心成功圆组成，同时列出总次数T和失败次数Y等于T减1。|每条路径都在实心圆处停止；总试验次数比失败次数多一。]]

一般地，在相互独立、成功概率相同的伯努利试验中，首次成功的试验次数服从参数为 <math>p</math> 的几何分布。本文先取 <math>0<p<1</math>，其概率质量函数为

<math display="block">P(T=k)=q^{k-1}p=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,3,\ldots.</math>

相邻两项满足 <math>P(T=k+1)=qP(T=k)</math>，构成公比为 <math>q</math> 的等比数列；“几何”在这里对应英文中的 geometric progression，即等比数列，并非指平面或立体图形。[https://www.randomservices.org/random/bernoulli/Geometric.html Siegrist：几何分布的定义与名称]

取值没有有限的最大值：十次都失败的概率是 <math>q^{10}>0</math>，一百次都失败的概率也大于零。不过“没有上界”不等于“永远失败有正概率”。各项概率相加得到

<math display="block">\sum_{k=1}^{\infty}P(T=k)=p(1+q+q^2+\cdots)=\frac{p}{1-q}=1.</math>

因此有限次数的结果已经占满总概率。等价地，连续失败 <math>m</math> 次的概率 <math>q^m</math> 在 <math>m\to\infty</math> 时趋于零，永远不成功的概率为零。

端点情形可另行说明：<math>p=1</math> 时一定首次成功，<math>T=1</math>；<math>p=0</math> 时永远不成功，不能再把 <math>T</math> 当作取有限正整数值的几何变量。

== 从 1 计数，还是从 0 计数 ==

另一种常见约定只数成功之前的'''失败次数'''，记为 <math>Y</math>。这时第一次就成功对应 <math>Y=0</math>，并且始终有

<math display="block">Y=T-1,\qquad P(Y=j)=q^jp,\quad j=0,1,2,\ldots.</math>

两个公式描述的是同一条发送路径，只是横坐标整体平移了一格。例如“第三次才成功”是 <math>T=3</math>，也就是 <math>Y=2</math>；两者的概率都为 <math>9/64</math>。教材和软件对“几何分布”的起点约定并不统一，读取参数或输出之前，应先看随机变量究竟数的是试验次数还是失败次数。[https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-4-geometric-distribution OpenStax：两种计数方式]

这里还有一个容易混淆的比较：<math>T=3</math> 是前两次失败、第三次成功；“固定发三次，恰好成功一次”则还包括第一或第二次成功，属于二项问题。它的概率是 <math>\binom31pq^2=3pq^2</math>，正好是 <math>P(T=3)</math> 的三倍。

== 概率图和等待超过某个次数的概率 ==

在 <math>p=1/4</math> 时，前几项是

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="几何分布前五项的概率和尾概率" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 首次成功次数 <math>k</math> !! 恰在此时成功 <math>P(T=k)</math> !! 发完此次数仍未成功 <math>P(T>k)</math>
|-
| 1 || <math>1/4</math> || <math>3/4</math>
|-
| 2 || <math>3/16</math> || <math>9/16</math>
|-
| 3 || <math>9/64</math> || <math>27/64</math>
|-
| 4 || <math>27/256</math> || <math>81/256</math>
|-
| 5 || <math>81/1024</math> || <math>243/1024</math>
|}
</div>

下图的柱高按同一比例递减。第一根最高，说明最可能的单个结果是第一次就成功；但后面还有无限多种等待时长，把它们一起计算，概率可能相当大。图只展示前十二项，右边仍有未画出的尾部。

[[File:Gezhi-dist-geometric-pmf.svg|frame|center|alt=p等于四分之一的几何概率柱图展示首次成功次数1至12，每根柱是前一根的四分之三；第12次以后仍有总概率约3.17%的尾部。|每往右一格，就多要求一次失败，因此柱高乘以 3/4。右侧的省略号表示分布继续延伸。]]

相比逐项相加，“还没成功”往往更好算。事件 <math>T>m</math> 恰好表示前 <math>m</math> 次全失败，因此对于非负整数 <math>m</math>，

<math display="block">P(T>m)=q^m,\qquad P(T\le m)=1-q^m.</math>

前一个叫'''尾概率'''，后一个是整数处的'''累积分布函数'''。若需要在任意实数 <math>x</math> 处定义 <math>F(x)=P(T\le x)</math>，则 <math>x<1</math> 时为零，<math>x\ge1</math> 时为 <math>1-q^{\lfloor x\rfloor}</math>，所以它也是在整数处跳跃的阶梯。

例如“至少要发三次”意味着前两次失败，而不是前三次失败，所以

<math display="block">P(T\ge3)=P(T>2)=q^2=\frac9{16}.</math>

“五次以内能成功”则是

<math display="block">P(T\le5)=1-\left(\frac34\right)^5=\frac{781}{1024}\approx0.762695.</math>

这个数与二项模型“固定五次至少成功一次”的答案相同。原因是两种观察方式都在问'''前五个潜在试验里是否至少出现一次成功'''，停止规则没有改变这一事件的概率。

== 已经失败三次，会变得更容易成功吗 ==

假设前三次已经失败。现在问：'''接下来两次仍然都失败'''的概率是多少？前面的三次结果已经成为条件，余下两次仍然独立，且每次失败概率仍是 <math>q</math>，所以答案是 <math>q^2=9/16</math>。

也可以只用尾概率验证。事件 <math>T>5</math> 一定包含在 <math>T>3</math> 中，因此[[概率|条件概率]]为

<math display="block">P(T>5\mid T>3)=\frac{P(T>5)}{P(T>3)}=\frac{q^5}{q^3}=q^2.</math>

下图上排保留已经发生的三次失败，下排从头开始计数。虚线右侧的两次失败，分别表示“总计超过五次”和“从现在起还要超过两次”；两个问题的剩余试验条件相同。

[[File:Gezhi-dist-geometric-memoryless.svg|frame|center|alt=上排前三次失败作为已知条件，比较随后两次都失败；下排从零开始比较前两次都失败。两段未来路径相同，条件概率都为十六分之九。|已知的三次失败不再乘入条件概率；无记忆性比较的是剩余等待时间。]]

把三次和两次换成任意非负整数 <math>m,r</math>，同样得到

<math display="block">P(T>m+r\mid T>m)=\frac{q^{m+r}}{q^m}=q^r=P(T>r).</math>

这就是几何分布的'''无记忆性'''：已知尚未成功，剩余的试验次数 <math>T-m</math> 与最初的 <math>T</math> 具有相同分布。这里 <math>0<p<1</math> 保证条件事件的概率 <math>q^m</math> 非零。[https://ocw.mit.edu/courses/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/resources/geometric-pmf-memorylessness-expectation/ MIT：几何分布的无记忆性与期望]

因此，在模型成立时，失败多次不会使下一次成功的概率自动升高；它仍是 <math>p</math>。这里说的是剩余等待时间的概率规律，并没有抹去已经消耗的三次发送。若人会学习、设备会磨损，或者系统每次失败后提高发送功率，过去可能影响下一次结果，几何模型的条件就需要重新检查。

== 为什么平均要等四次 ==

直接按定义计算[[期望]]，会得到 <math>E(T)=\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}p</math>。另一种求法能把“等待次数”拆得更清楚：第一次发送总要进行；第二次仅在第一次失败时才需要；第三次仅在前两次都失败时才需要，依此类推。

例如某条路径实际等到第四次成功，就要为第 1、2、3、4 次各计一个单位，总数为 <math>1+1+1+1=4</math>。把这件事对所有路径一起平均，第 <math>m+1</math> 次所贡献的平均次数就是“需要进行第 <math>m+1</math> 次”的概率，即 <math>P(T>m)</math>。于是

<math display="block">E(T)=\sum_{m=0}^{\infty}P(T>m)=1+q+q^2+\cdots=\frac1{1-q}=\frac1p.</math>

这个'''尾和公式'''可以先只计前 <math>M</math> 次，得到 <math>E[\min(T,M)]=\sum_{m=0}^{M-1}P(T>m)</math>；再让 <math>M</math> 增大。所加的都是非负贡献，计数逐步包含整段等待，因而得到上面的无穷和。

本例 <math>E(T)=4</math>。然而最可能的单次结果仍是 <math>T=1</math>，而且

<math display="block">P(T\le4)=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}\approx0.683594.</math>

只有约 <math>68.36\%</math> 的等待会在四次以内结束。平均值被较长的等待向右拉动，所以“平均四次”并不是“四次以内成功的保证”。

若希望成功概率至少达到 <math>95\%</math>，需要另解

<math display="block">1-(3/4)^m\ge0.95,\quad\text{即}\quad(3/4)^m\le0.05.</math>

检查相邻整数：<math>(3/4)^{10}\approx0.056314</math>，<math>(3/4)^{11}\approx0.042235</math>。由于这些幂随 <math>m</math> 递减，最小次数是 <math>11</math>，此时成功概率约为 <math>95.78\%</math>。这类问题问的是累计概率门槛，答案通常不同于均值。

== 等待次数的方差 ==

方差描述不同等待长度的波动。继续使用刚才的分层想法，不过现在要算 <math>T^2</math>。正整数平方可以拆成连续奇数之和：<math>k^2=1+3+\cdots+(2k-1)</math>。因此第 <math>m+1</math> 层这次贡献 <math>2m+1</math>，得到

<math display="block">E(T^2)=\sum_{m=0}^{\infty}(2m+1)P(T>m)=2\sum_{m=0}^{\infty}mq^m+\sum_{m=0}^{\infty}q^m.</math>

第二个和已经知道是 <math>1/(1-q)</math>。令第一个和为 <math>S=\sum_{m=1}^{\infty}mq^m</math>；当 <math>0<q<1</math> 时它收敛，例如相邻项之比趋于 <math>q<1</math>，从某一项起可被一个收敛等比级数控制。把 <math>S</math> 乘以 <math>q</math> 后错开一项相减：

<math display="block">\begin{aligned}S&=q+2q^2+3q^3+\cdots,\\qS&=q^2+2q^3+3q^4+\cdots,\\(1-q)S&=q+q^2+q^3+\cdots=\frac q{1-q}.
\end{aligned}</math>

所以 <math>S=q/(1-q)^2=q/p^2</math>，代回去得到

<math display="block">E(T^2)=\frac{2q}{p^2}+\frac1p=\frac{2-p}{p^2}.</math>

最后扣除均值的平方：

<math display="block">\operatorname{Var}(T)=E(T^2)-[E(T)]^2=\frac{2-p}{p^2}-\frac1{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.</math>

当 <math>p=1/4</math> 时，二阶矩为 <math>28</math>，方差为 <math>28-16=12</math>，标准差为 <math>\sqrt{12}\approx3.4641</math>。失败次数 <math>Y=T-1</math> 的均值少一，即 <math>E(Y)=q/p=3</math>；它与自身均值的偏差没有改变，所以方差仍为 <math>12</math>。[https://www.randomservices.org/random/bernoulli/Geometric.html Siegrist：两种计数约定的均值与方差]

== 离散等待与连续等待 ==

几何分布以“第几次试验”计时。[[指数分布]]则描述一类连续的等待时间，其尾概率形如 <math>P(W>t)=e^{-rt}</math>，其中 <math>r>0</math> 是每单位时间的速率。两者都有无记忆性，但一个按整数次计数，一个按连续时间计量。

可以从尾概率看见它们的联系。把一次试验对应的时间长度记作 <math>\Delta t</math>，并选择 <math>p=1-e^{-r\Delta t}</math>。于是 <math>q=e^{-r\Delta t}</math>，在网格时刻 <math>m\Delta t</math> 上，

<math display="block">P(T\Delta t>m\Delta t)=q^m=e^{-r m\Delta t}.</math>

这与指数尾概率在这些时刻精确相同。对网格之间的时刻，<math>T\Delta t</math> 的分布仍是阶梯；当 <math>\Delta t</math> 趋近零，阶梯的时间间隔才趋近零，从而趋向连续的指数等待模型。不能仅因为二者都“等到某事发生”，就把整数次数直接当作连续时间。

有限重试次数又是另一层设置。若系统最多发五次，即使全失败也停止，那么实际消耗次数是 <math>\min(T,5)</math>，它可能取 <math>1,\ldots,5</math>，不再服从原来的几何分布。尤其“消耗五次”同时包括第五次成功与五次全失败，概率是 <math>P(T\ge5)=q^4</math>，不能只取 <math>P(T=5)=q^4p</math>。

== 参考资料 ==

* Kyle Siegrist，[https://www.randomservices.org/random/bernoulli/Geometric.html The Geometric Distribution]，''Probability, Mathematical Statistics, and Stochastic Processes''。正整数与非负整数两种约定、等比级数、尾概率、无记忆性以及矩的推导。
* John Tsitsiklis，[https://ocw.mit.edu/courses/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/resources/geometric-pmf-memorylessness-expectation/ 06.6 Geometric PMF Memorylessness & Expectation]，MIT OpenCourseWare，2018；[https://ocw.mit.edu/courses/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/f8408ddae509310e0fb2d9fed8483e0e_MuqLI4otMIQ.pdf 讲解文字稿]。条件等待时间与期望的关系。
* Barbara Illowsky、Susan Dean，[https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-4-geometric-distribution ''Introductory Statistics 2e''，4.4 Geometric Distribution]，OpenStax。首次成功的模型条件及两种计数方式。

[[分类:概率与统计]]

几何分布 - 版本历史

AIContentBot：​新增常用概率分布：贯穿案例、完整推导与透明SVG图解

AIContentBot：新增常用概率分布：贯穿案例、完整推导与透明SVG图解