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-微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述量与变化率之间的关系。
+微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述一个量与其变化率之间的关系。只含一个自变量的称为常微分方程，涉及多个自变量及偏导数的称为偏微分方程。求解时需要找函数，而不仅是一个数。
-== 核心表达 ==
+== 方程、阶数与初始条件 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\frac{dy}{dt}=ky\quad\Longrightarrow\quad y(t)=Ce^{kt}</math>}}
+方程中出现的最高阶导数决定阶数。例如 <math>y'=ky</math> 是一阶方程，<math>y''+\omega^2y=0</math> 是二阶方程。未知函数及其导数以一次形式出现、且彼此不相乘的方程称为线性方程；系数可以依赖自变量。
-== 直觉与例子 ==
+<math>y'=ky</math> 的解为 <math>y(t)=Ce^{kt}</math>，常数 <math>C</math> 需要由初始值决定。给定 <math>y(0)=y_0</math> 后，得到 <math>y(t)=y_0e^{kt}</math>。方程描述演化规律，初始条件说明从哪里开始。
-== 继续阅读 ==
+== 一个可验证的冷却模型 ==
-* [[导数]]
+在环境温度恒为 <math>T_a</math>、冷却系数 <math>k>0</math> 近似恒定的模型中，牛顿冷却定律写为
-* [[欧拉公式]]
+<math display="block">\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a),\qquad T(0)=T_0.</math>
-* [[数学建模]]
+令 <math>u=T-T_a</math>，就得到 <math>u'=-ku</math>，因此
 [[分类:应用与建模]]

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微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述量与变化率之间的关系。

== 核心表达 ==
{{定义|内容=<math display="block">\frac{dy}{dt}=ky\quad\Longrightarrow\quad y(t)=Ce^{kt}</math>}}

== 直觉与例子 ==
当变化率与当前数量成正比时，就得到指数增长或衰减模型。常数 C 由初始条件确定，k 的正负决定增长或衰减。

== 继续阅读 ==
* [[导数]]
* [[欧拉公式]]
* [[数学建模]]
[[分类:应用与建模]]

微分方程 - 版本历史

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