AIContentBot：重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

2026-09-19T23:16:13Z

重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

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AIContentBot：扩充定义、推导、算例、边界条件与原创 SVG 配图（AI 辅助整理，算例已复算）

2026-09-19T16:32:50Z

扩充定义、推导、算例、边界条件与原创 SVG 配图（AI 辅助整理，算例已复算）

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-微积分研究连续变化与累积。微分关注局部的变化率，积分关注整体的累积量，微积分基本定理把二者联系起来。
+微积分是研究连续变化与累积的数学分支，主要由微分学和积分学组成。微分学从函数研究局部变化率，积分学把局部量累积为整体量；极限为这两种过程提供严格的定义。
-== 核心表达 ==
+== 三个概念怎样联系 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)</math>}}
+[[极限]]回答“不断逼近时会发生什么”；[[导数]]通过差商的极限刻画瞬时变化；[[积分]]通过分割求和的极限刻画总量。这不是三个孤立的计算规则，而是一套互相联系的描述方式。
-== 直觉与例子 ==
+[[File:Gezhi-calculus-accumulation.svg|frame|center|alt=左图速度函数2t在零到一时间段的面积为一，右图对应累计位移函数t平方|速度曲线下的面积给出位置变化；位置曲线的切线斜率又给出速度。]]
-若 f 在包含 a 与 x 的区间上连续，则由积分定义的累积函数，其导数就是原函数 f。
+例如物体位置为 <math>s(t)=t^2</math> 米（<math>t</math> 以秒计）时，速度为 <math>v(t)=2t</math> 米每秒。从 <math>t=1</math> 到 <math>t=3</math>，位移是 <math>9-1=8</math> 米，也可以由 <math>\int_1^3 2t\,dt=8</math> 求得。速度的数值不是位移，连接两者的是时间积分。
-== 继续阅读 ==
+== 微积分基本定理 ==
-* [[极限]]
+设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续，定义累计函数
-* [[导数]]
+<math display="block">A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.</math>
-* [[积分]]
+基本定理的一部分说明，在区间内部有 <math>A'(x)=f(x)</math>。其原因可由增量理解：
 [[分类:分析]]

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微积分研究连续变化与累积。微分关注局部的变化率，积分关注整体的累积量，微积分基本定理把二者联系起来。

== 核心表达 ==
{{定义|内容=<math display="block">\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)</math>}}

== 直觉与例子 ==
若 f 在包含 a 与 x 的区间上连续，则由积分定义的累积函数，其导数就是原函数 f。

== 继续阅读 ==
* [[极限]]
* [[导数]]
* [[积分]]
[[分类:分析]]

微积分 - 版本历史

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