AIContentBot：补充统计图解：六类图形、完整算例、透明SVG与选图入口

2026-09-20T00:47:32Z

补充统计图解：六类图形、完整算例、透明SVG与选图入口

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'''折线图'''（line chart）把按顺序排列的观测点用线段连接，用来显示一个量随时间或其他有序数值怎样变化。点的位置表示观测，连线帮助追踪相邻点之间的变化；连接部分是否能当作中间时刻的数值，还需要另外说明。

== 四次读数，横轴不能等距摆放 ==
设一个容器可能进水也可能排水，记录开始后 <math>0,1,3,6</math> 分钟的液体体积。下面是'''合成教学数据'''，用于比较时间间隔、变化率和连线方式，并非真实测量记录。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="不同时间间隔的容器体积读数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 开始后时间 <math>t</math>（分钟） !! 体积 <math>V</math>（升）
|-
| 0 || 100
|-
| 1 || 120
|-
| 3 || 150
|-
| 6 || 180
|}
</div>

先把四行放成 <math>(0,100),(1,120),(3,150),(6,180)</math>，再按时间从早到晚连接。相邻观测间隔分别是一、二、三分钟，因此横向距离也应为 <math>1:2:3</math>。若把四次读数当作四个等距类别，就会把最后三分钟画得与最初一分钟一样短，改变读者对快慢的判断。

[[File:Gezhi-stats-line-intervals.svg|frame|center|alt=横轴为零到六分钟，纵轴为八十到二百升；四个点分别为零一百、一一百二十、三一百五十、六一百八十，横向间距为一比二比三|圆点表示观测时刻。辅助直角折线标出第二段的两分钟与三十升，便于计算斜率。]]

图中纵轴从八十升开始，目的是看清这组读数的变化，不代表容器在八十升处才有“零体积”。折线依靠坐标定位，不像条形图靠从基线起算的长度表示数量；可以选取合适显示范围，但不能省略刻度或让读者误解起点。[https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/guidance/axes-and-gridlines 英国国家统计局：坐标轴范围]

对于少量观测或不规则时间间隔，保留点标记尤其有用：它让读者知道哪里有实际读数、哪里只有连接。英国国家统计局的折线图指南也以点标记区分不规则观测。[https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/chart-types/line-chart 英国国家统计局：Line chart]

== 变化了多少，与变化得多快 ==
从一分钟到三分钟，体积增加
<math display="block">\Delta V=150-120=30\ \mathrm{L}.</math>
这三十升发生在两分钟内，所以平均变化率是
<math display="block">\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{150-120}{3-1}=15\ \mathrm{L/min}.</math>
图中横向辅助段长两分钟，竖向辅助段高三十升，二者相除就是这段连线的斜率。单位是升每分钟，不是升，也不是无单位的角度。

同样计算其余两段：

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="三段体积变化与平均变化率" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 时间段（分钟） !! <math>\Delta t</math>（分钟） !! <math>\Delta V</math>（升） !! 平均变化率（升/分钟） !! 相对初值的增幅
|-
| 0 至 1 || 1 || 20 || 20 || <math>20/100=20\%</math>
|-
| 1 至 3 || 2 || 30 || 15 || <math>30/120=25\%</math>
|-
| 3 至 6 || 3 || 30 || 10 || <math>30/150=20\%</math>
|}
</div>

后两段都增加三十升，但分别用了两分钟和三分钟，后一段平均增加得更慢。虽然四个观测值始终上升，三段平均变化率却从二十降到十五再降到十。“数值在增长”和“增长越来越快”是不同陈述。

整个六分钟的平均变化率为
<math display="block">\frac{180-100}{6-0}=\frac{80}{6}\approx13.33\ \mathrm{L/min}.</math>
它也等于按时间长度加权的平均：
<math display="block">\frac{20\times1+15\times2+10\times3}{1+2+3}=\frac{80}{6}.</math>
直接把三个变化率等权平均成十五，会忽略它们各自持续多久。

=== 相对增幅还需要说明基数与期间 ===
相对变化以开始值为基数：
<math display="block">g=\frac{V_b-V_a}{V_a},\qquad V_a\ne0.</math>
本例从一到三分钟增长百分之二十五，从零到一分钟增长百分之二十。但前者用了两分钟，不能只因 <math>25\%>20\%</math> 就说它增长更快。

若希望把一至三分钟的总变化折算为每分钟相同的相对增速 <math>q</math>，需解
<math display="block">120(1+q)^2=150,\qquad q=\sqrt{1.25}-1\approx11.80\%.</math>
这是'''等效'''每分钟增速，并未证明容器每一分钟都按同一比例变化。全段从一百到一百八十升，累计增幅为 <math>80\%</math>；也可核对三段倍率相乘为 <math>1.20\times1.25\times1.20=1.80</math>，不能把三个百分比直接相加。

相对增幅适用于具有相应基数意义的量。本例零升表示没有液体；摄氏温度从十度到二十度，却不能据此说热的程度“翻倍”。基数为零时普通相对变化公式无定义，基数为负时也需结合量的含义解释。

== 连接两个点，增加了什么假设 ==
在一至三分钟之间画一条直线，相当于提供了一个分段线性插值：在两个读数之间，按固定斜率连接。对这一段，
<math display="block">\widehat V(t)=120+\frac{150-120}{3-1}(t-1)=120+15(t-1),\qquad1\le t\le3.</math>
代入 <math>t=1</math> 和 <math>t=3</math> 分别得到一百二十、一百五十，说明线段经过端点。代入 <math>t=2</math> 得到一百三十五升，含义是'''按这条连接线估计'''的中间值，不是新增了一次两分钟时的测量。

一般地，两个不同时间 <math>t_a<t_b</math> 的分段线性连接为
<math display="block">\widehat V(t)=V_a+\frac{V_b-V_a}{t_b-t_a}(t-t_a),\qquad t_a\le t\le t_b.</math>
这由“起点数值加上斜率乘经过时间”得到，也是分段线性插值的定义。[https://fncbook.com/pwlin/ Driscoll 与 Braun：Piecewise linear interpolation]

把线段延伸到六分钟以后则属于外推。最后一段斜率是十升每分钟，并不能仅凭它确认七分钟时有一百九十升；容器的进出水条件可能改变，甚至受容量限制。是否延伸需要物理信息或其他模型支持。

== 同一组点，可以连成不同的曲线 ==
'''曲线图'''常指用曲线显示函数、趋势或连接观测点的图。它不是把折线的棱角抹圆这么简单：一旦读取曲线上未观测时刻的值，就选择了一种插值或模型。

仍使用原来的四个点。若要求连接函数是三次或更低次多项式，设
<math display="block">p(t)=a+bt+ct^2+dt^3.</math>
由 <math>p(0)=100</math> 得 <math>a=100</math>。其他三个点给出
<math display="block">b+c+d=20,\qquad3b+9c+27d=50,\qquad6b+36c+216d=80.</math>
第二式减去第一式的三倍，再除以二，得到 <math>3c+12d=-5</math>；第三式减去第一式的六倍，再除以十，得到 <math>3c+21d=-4</math>。两式相减可得 <math>d=1/9</math>，随后 <math>c=-19/9,b=22</math>，所以
<math display="block">p(t)=100+22t-\frac{19}{9}t^2+\frac19t^3.</math>
这里 <math>t</math> 取以分钟计的数值，函数输出以升计的数值；各系数的量纲与相应时间次幂匹配。多项式次数限制是新加的选择，并不是四个读数自带的事实。[https://fncbook.com/polyinterp/ Driscoll 与 Braun：Polynomial interpolation]

还可以构造另一条光滑曲线
<math display="block">q(t)=p(t)+t(t-1)(t-3)(t-6).</math>
此式同样约定输入输出使用上述数值单位，新增项的系数对应升每四次方分钟。在四个观测时刻，新增乘积总有一个因子为零，所以 <math>q</math> 也穿过全部四个点；在其他时刻，它通常与 <math>p</math> 不同。

[[File:Gezhi-stats-line-connections.svg|frame|center|alt=同样四个观测点既可由直线段连接，也可由光滑曲线q连接；曲线在三到六分钟之间先下降再上升，两个方案在观测点处完全相同|实线为分段线性连接，虚线为文中明确给出的 q。后者中途的起伏来自所选函数，不是新增观测。]]

例如两分钟时，分段直线给出 <math>135</math> 升，而
<math display="block">p(2)=\frac{1228}{9},\qquad q(2)=\frac{1228}{9}+2(1)(-1)(-4)=\frac{1300}{9}\approx144.44.</math>
图中的光滑曲线还在后三分钟内发生下降。四个读数本身排除不了中途先排水再进水；若另外已知这期间只进不出，就应加入单调性条件，排除这样的曲线。这说明假设必须来自问题，不能由“曲线更漂亮”代替。

=== 平滑与插值也不是同一回事 ===
插值要求经过给定点；平滑通常试图降低局部波动，可以不经过每个点。例如把前三次读数做简单平均，得到 <math>(100+120+150)/3\approx123.33</math> 升，它不等于其中任一原读数。如果用这种结果画趋势，应保留原始点并说明平均窗口和放置时间。

本例时间间隔不相等，“每三条记录取平均”也不自动等于“每三分钟的平均体积”。要表示固定时间窗内的平均，还需定义覆盖范围、权重和对未观测部分的处理。平滑曲线适合呈现所选方法下的趋势，不能被重新标成未经处理的观测。

== 缺测处为什么要留出空白 ==
前面的观测计划本来只有零、一、三、六分钟。现在考虑另一种记录情况：设备还计划在两分钟读取一次，但那次记录丢失。已经知道“应当有一次观测而没有得到它”，应在资料中标记缺测，并在跨越缺测处的线段留出间断。

[[File:Gezhi-stats-line-missing.svg|frame|center|alt=仍显示零一百、一一百二十、三一百五十、六一百八十这四个已知点，一至三分钟之间不连线，顶部注明两分钟体积未知|两分钟处没有数据点，也没有画成零；缺口使缺测信息不会被一条连续线掩盖。]]

零体积是一个明确数值，缺测则是不知道，两者不能互换。若分析必须填补缺测，可以单独给出插补方法、估计点和不确定性标记；例如分段线性插补仍会得到一百三十五升，但它的身份应是估计。英国国家统计局建议在原本规律的数据出现缺测时保留线段缺口。[https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/chart-types/line-chart 英国国家统计局：Irregular and missing data]

缺测与采样稀疏也有区别。只在六个小时的两端测量，即使两端相同，也不能判断中间始终不变；是否曾出现峰值需要更密的观测或机制信息。连线不会替人完成这些观测。

== 怎样选择连线与比较对象 ==
时间应按真实先后排列；不能为了让线更顺而按数值大小重新排序。若横轴是没有连续顺序的城市或品牌，把类别任意连接会制造“途中上升下降”的印象，通常更适合[[条形图]]。若横纵轴是成对数值而不要求顺序，应考虑[[散点图]]。

当变量在明确事件时跳变、其间保持不变时，阶梯线可能比斜线更符合定义，例如已公布价格只在调价时改变。反之，容器体积是否连续变化取决于过程和时间尺度，不能只因为绘图软件提供某种线型就选用它。

比较多个系列时，保持单位和时间基准一致，并用线型或点形补充颜色。图框拉高会让线显得更陡，改变纵轴范围也会放大视觉起伏；数学变化率仍应由标注的数值与时间计算。若一个系列是体积、另一个是流量，它们连单位都不同，应先解释联系，再选择分图或适当变换，不从两条线碰巧交叉推出两种量相等。

== 参考资料 ==
* [https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/chart-types/line-chart 英国国家统计局，Line chart]：时间趋势、点标记、缺测与阶梯线。
* [https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/guidance/axes-and-gridlines 英国国家统计局，Axes and gridlines]：坐标范围与一致尺度。
* [https://fncbook.com/pwlin/ Driscoll 与 Braun，Fundamentals of Numerical Computation：Piecewise linear interpolation]：相邻点之间的线性插值。
* [https://fncbook.com/polyinterp/ 同教材：Polynomial interpolation]：次数约束下的插值问题。
* 相关：[[统计图]]、[[散点图]]、[[函数]]、[[导数]]、[[数学建模]]、[[最小二乘法]]。
[[分类:概率与统计]]

折线图 - 版本历史

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