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2026-09-20T00:47:28Z

补充统计图解：六类图形、完整算例、透明SVG与选图入口

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'''散点图'''（scatter plot）用点的位置同时表示两个数值变量：横坐标记录一个量，纵坐标记录另一个量。每个点来自同一个对象或同一次观测的一对数据。它帮助我们判断两种量是否一起变化、关系是否接近直线，以及有没有偏离主要点群的观测。

== 一行数据怎样成为一个点 ==
假设要比较两台温度计在相同地点的读数。下面是四个地点的'''合成教学数据'''，横轴 <math>x</math> 表示第一台的读数，纵轴 <math>y</math> 表示第二台的读数，单位都是摄氏度。两台仪器的读数必须按地点配对，不能各自排序后重新搭配。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="两台温度计的四组成对读数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 地点编号 <math>i</math> !! <math>x_i</math>（℃） !! <math>y_i</math>（℃） !! 图上的点
|-
| 1 || 1 || 2 || <math>(1,2)</math>
|-
| 2 || 2 || 3 || <math>(2,3)</math>
|-
| 3 || 3 || 5 || <math>(3,5)</math>
|-
| 4 || 4 || 4 || <math>(4,4)</math>
|}
</div>

第三行并不是两个点。它表示先沿横轴找到三，再沿纵向找到五，在交会处放一个点 <math>(3,5)</math>。其余三行同理。

[[File:Gezhi-stats-scatter-paired.svg|frame|center|alt=四个观测点为一二、二三、三五、四四，横纵坐标都是摄氏度，虚线分别经过横坐标均值二点五和纵坐标均值三点五|先把第三行定位到 (3,5)，再看整个点群从左下向右上延伸。虚线表示均值位置。]]

散点图的横坐标是温度，不是地点编号：换一下数据表的行序，图上的点不应改变。这里没有连接地点一、二、三、四的线，因为地点之间没有需要表达的连续顺序。若横轴改为同一地点的观测时间，并要研究先后变化，则可能更适合[[折线图]]。

交换横纵轴会把图沿 <math>y=x</math> 反射，仍然表示同一组配对关系。不过，若要用一个变量预测另一个变量，预测方向就有区别，见[[最小二乘法]]。

== 先看方向，再看形状和分散程度 ==
图中较大的 <math>x</math> 大体对应较大的 <math>y</math>，这叫正向关系；若点群从左上向右下延伸，就是负向关系。方向只描述整体变化，不要求任意相邻两点都同升同降。本例从 <math>(3,5)</math> 到 <math>(4,4)</math> 虽向下，整体仍呈正向趋势。

其次要看关系是否接近直线。点围绕一条斜直线分布，与点沿弯曲的 U 形分布，是不同的结构。还要留意同一横坐标附近的纵向分散是否改变、是否分成多个点群。NIST 的散点图指南将这些形状、变异与异常观测作为主要阅读内容。[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda33q.htm NIST：Scatter Plot]

对于两台温度计，还应区分“同步变化”与“读数一致”。假如总有 <math>y=x+10</math>，点会精确落在一条上升直线上，但第二台始终比第一台高十度。判断两台读数是否接近，需要同时查看点离 <math>y=x</math> 有多远，不能只看相关程度。

== 完整算一次 Pearson 相关系数 ==
'''样本 Pearson 相关系数'''用一个数概括成对数据的线性关联。对 <math>n</math> 对数值，先求均值 <math>\bar x,\bar y</math>，再定义
<math display="block">S_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2,\qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2,</math>
<math display="block">S_{xy}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y).</math>
当两个变量都不是常数，即 <math>S_{xx}>0,S_{yy}>0</math> 时，
<math display="block">r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.</math>
分子比较两个变量偏离各自均值的方向：同在均值之上或同在均值之下时，乘积为正；分处两侧时为负。分母用两种偏差各自的总体大小作标准化。其单位与分子相同，所以 <math>r</math> 没有单位。[https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/correlat.htm NIST：Correlation 的公式与记号]

对前面的四行读数，
<math display="block">\bar x=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5,\qquad\bar y=\frac{2+3+5+4}{4}=3.5.</math>
逐行减去均值并相乘：

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="Pearson相关系数逐行偏差计算" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! <math>i</math> !! <math>x_i-\bar x</math> !! <math>y_i-\bar y</math> !! 两偏差之积 !! 横向偏差平方 !! 纵向偏差平方
|-
| 1 || −1.5 || −1.5 || 2.25 || 2.25 || 2.25
|-
| 2 || −0.5 || −0.5 || 0.25 || 0.25 || 0.25
|-
| 3 || 0.5 || 1.5 || 0.75 || 0.25 || 2.25
|-
| 4 || 1.5 || 0.5 || 0.75 || 2.25 || 0.25
|-
| 合计 || 0 || 0 || 4 || 5 || 5
|}
</div>

于是
<math display="block">r=\frac{4}{\sqrt{5\times5}}=0.8.</math>
回看第一张图，四个点都位于均值交点的左下或右上方向，因此四个偏差乘积都为正；它们没有落在同一条直线上，相关系数也没有达到一。<math>0.8</math> 是这四对数据的描述，不等于“两台仪器有百分之八十的概率一致”，也没有把摄氏度变成百分比。

=== 为什么结果在负一与一之间 ===
把偏差归一化为
<math display="block">u_i=\frac{x_i-\bar x}{\sqrt{S_{xx}}},\qquad v_i=\frac{y_i-\bar y}{\sqrt{S_{yy}}}.</math>
这样 <math>\sum u_i^2=\sum v_i^2=1</math>，而 <math>r=\sum u_iv_i</math>。利用平方和非负，
<math display="block">0\le\sum(u_i-v_i)^2=2-2r,\qquad0\le\sum(u_i+v_i)^2=2+2r.</math>
第一式给出 <math>r\le1</math>，第二式给出 <math>r\ge-1</math>。当 <math>r=1</math> 时，每个 <math>u_i=v_i</math>，两组偏差成正比例，所有点落在同一条正斜率直线上；<math>r=-1</math> 则对应负比例。

若一台温度计的四次读数完全相同，其偏差平方和为零，公式分母为零，此时 <math>r</math> 未定义，不能填作零。只给两个横纵值都不同的点时，两点总能确定一条斜直线，因而 <math>|r|=1</math>；这也说明极少的点不能证明总体关系牢固。计算描述性的 <math>r</math> 不要求数据服从正态分布；进一步做显著性检验或区间估计，需要另行说明抽样和分布模型，参见[[统计推断]]。

== 零相关仍然可以有确定关系 ==
现在改看五个无量纲点：
<math display="block">(-2,4),\ (-1,1),\ (0,0),\ (1,1),\ (2,4).</math>
它们按 <math>y=x^2</math> 构造。知道横坐标，就能精确算出纵坐标，却没有统一的上升或下降方向。

[[File:Gezhi-stats-scatter-quadratic.svg|frame|center|alt=五个点位于y等于x平方的U形曲线上，横坐标负二负一零一二对应纵坐标四一零一四，相关系数为零|虚线说明这组数据的构造关系 y=x²；它不是把相邻观测顺序连接起来的折线。]]

这组数据有 <math>\bar x=0,\bar y=2</math>。偏差乘积的和为
<math display="block">S_{xy}=(-2)(4-2)+(-1)(1-2)+0(0-2)+1(1-2)+2(4-2)=0.</math>
同时 <math>S_{xx}=10</math>、<math>S_{yy}=14</math>，所以 <math>r=0/\sqrt{140}=0</math>。左右两侧的线性方向在相加时抵消了，U 形结构却完全保留。零相关排除不了非线性关系。

“不相关”与“独立”的区别还可以精确说明：把这五个点看作各以 <math>1/5</math> 概率发生的结果，定义随机变量 <math>X</math> 和 <math>Y=X^2</math>。则
<math display="block">P(Y=0)=\frac15,\qquad P(Y=0\mid X=0)=1.</math>
知道 <math>X=0</math> 后，<math>Y</math> 的概率改变了，因此两者不独立；这个明确给定的概率模型又有协方差为零。一般散点样本里算出 <math>r=0</math>，更不能直接据此断言总体独立。

== 多一个点，相关系数会怎样改变 ==
回到温度计例子，假设多记录了一对 <math>(5,0)</math>。这个点偏离原先的右上趋势，用不同形状标出，方便比较。

[[File:Gezhi-stats-scatter-extra-point.svg|frame|center|alt=原来的四个点仍向右上延伸，额外的五零点用十字标出；四点相关系数零点八，加入后约为负零点二四六六|坐标尺度与第一张图一致。新增点既偏离原有点群，也改变了两组均值。]]

现在均值变成 <math>\bar x=3,\bar y=2.8</math>。必须用新均值重新计算全部偏差，而不是只在旧分子后面添一项。计算得到
<math display="block">S_{xx}=10,\qquad S_{yy}=14.8,\qquad S_{xy}=-3,</math>
<math display="block">r=\frac{-3}{\sqrt{148}}\approx-0.2466.</math>
只新增一个点，描述性相关系数就从正变负。这不是图“失效”，而是图提醒我们不要让一个数字遮住数据结构。

下一步应核对该行的地点配对、仪器状态、录入与测量条件。若是录入错误，应根据原始记录更正；若是真实观测，则要解释它为何不同，并考虑分组或模型是否遗漏了条件。不能因为删除后相关系数更漂亮，就把它排除。还应同时报告采用哪些数据，避免让读者无法复算。

== 图中还有什么信息，图外还缺什么 ==
散点图显示的是联合变化。两个温度计可能都受到同一个地点温度影响，不能因为第一台读数大时第二台也大，就说“第一台的读数使第二台升高”。因果判断需要测量机制、研究设计与其他证据；把某个量放在横轴不会自动赋予它原因的地位。[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda33q.htm NIST：关联不能单凭散点图证明因果]

读图还要留意点是否重叠。十次完全相同的读数可能盖成一个符号，肉眼数符号未必得到样本数；可用透明度、重复次数标记或适当的分组图补充。若给点加抖动以看清重叠，应说明显示位置经过轻微偏移，精确计算仍用原始数据。

比较两张散点图时，要核对坐标范围和单位。改变图框宽高会改变肉眼看到的倾斜程度，却不改变原始数据的 <math>r</math>。与[[条形图]]靠长度表示数量不同，散点图依靠两个坐标定位，坐标轴可根据问题选择合适范围，但必须清楚标出刻度。若只想了解单个变量的分布，应另看[[直方图]]或[[箱线图]]；若关心按时间发展的轨迹，可与[[折线图]]配合。

== 参考资料 ==
* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda33q.htm NIST/SEMATECH e-Handbook，1.3.3.26 Scatter Plot]：二维配对、关系形状、异常点与关联解释。
* [https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/correlat.htm NIST Dataplot，Correlation]：Pearson 相关系数的偏差和公式。
* [https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/guidance/axes-and-gridlines 英国国家统计局，Axes and gridlines]：坐标范围与跨图比较。
* 相关：[[统计图]]、[[概率]]、[[统计推断]]、[[最小二乘法]]。
[[分类:概率与统计]]

散点图 - 版本历史

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