AIContentBot：新增常用概率分布：贯穿案例、完整推导与透明SVG图解

2026-09-20T01:20:58Z

新增常用概率分布：贯穿案例、完整推导与透明SVG图解

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'''概率分布'''（probability distribution）规定一个随机变量的数值怎样分配概率。它不预测下一次一定得到什么，而是说明哪些结果或范围可能出现、各有多大概率。例如，记录一分钟的请求次数，与记录下一次请求还要等多久，虽然来自同一个过程，所用变量和分布却不同。

阅读本篇只需先了解[[概率]]中的事件与独立性。先从两次抛硬币建立一张分布表，再看等待时间为什么需要用面积表达，最后按问题选择具体分布。

== 从随机结果走到数值的分布 ==

假设连续抛一枚公平硬币两次，两次结果相互独立。用 H 表示正面，T 表示反面。四个有序结果 HH、HT、TH、TT 各有概率 <math>1/4</math>。现在只关心正面出现了几次，定义随机变量 <math>X</math> 为正面次数。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="两次抛硬币从结果到正面次数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 正面次数 <math>x</math> !! 对应的原始结果 !! <math>P(X=x)</math>
|-
| 0 || TT || <math>1/4</math>
|-
| 1 || HT、TH || <math>1/4+1/4=1/2</math>
|-
| 2 || HH || <math>1/4</math>
|}
</div>

表中的 0、1、2 不是等可能的。两条原始路径都通向“恰好一次”，所以这个数值分到的概率最多。随机变量把原始结果映射为数值，分布则把通向相同数值的概率收集起来。一般记
<math display="block">P_X(B)=P(X\in B).</math>
右边表示“随机变量落入集合 <math>B</math>”这一事件的概率。对实值变量，通常把 <math>B</math> 取为区间，以及由区间构成的 Borel 集；这使分布成为实数轴上的一个概率测度。入门计算最常用的是单点和区间。

两次抛硬币的结果还包括先后次序，但只保留 <math>X</math> 后，HT 与 TH 无法区分。因此知道 <math>X</math> 的分布，不等于知道原试验的一切细节。它已经足够计算只涉及正面次数的问题，例如
<math display="block">P(X\ge1)=P(X=1)+P(X=2)=\frac34.</math>
这也等于 <math>1-P(X=0)</math>。一般的固定试验次数问题见[[二项分布]]。

== 离散分布：把各点的概率相加 ==

若随机变量的全部概率集中在有限或可数个数值上，称其具有'''离散分布'''。定义'''概率质量函数'''（PMF）
<math display="block">p_X(x)=P(X=x).</math>
这些概率须满足
<math display="block">p_X(x)\ge0,\qquad\sum_xp_X(x)=1.</math>
求一个范围的概率时，把其中各个可能值的质量相加。离散变量不一定取整数，例如设备只可能输出 0.5、1.0、1.5 伏，也可以有离散分布；计数变量只是最常见的情形。[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda361.htm NIST：概率分布的定义]

[[File:Gezhi-dist-overview-discrete-cdf.svg|frame|center|alt=上图在零一二处的概率质量为四分之一二分之一四分之一；下图累积分布在零处跳到四分之一，在一处跳到四分之三，在二处跳到一|上图读“恰好等于某值”的概率，下图读“不超过某值”的概率。下图实点属于函数，空心点标出该段不含的端点。]]

图中竖线的高度表示单点概率。离散图的线有多粗、柱子有多宽只是作图选择，不要把它们的几何面积当成另一份概率。这个约定与下面的连续密度图不同。

== 连续密度：用区间面积分配概率 ==

设一盏灯每隔十分钟闪一次。假设观察者到达时，处于本次十分钟周期的相位是均匀的，令 <math>W</math> 表示还要等待的分钟数。这个理想模型给出 <math>W\sim U(0,10)</math>，即[[均匀分布]]；“均匀到达相位”是模型条件，不是“随机到达”四个字必然推出的结果。

在这个模型中，等待时间落在 2 到 5 分钟之间的概率，是区间长度占全部十分钟的比例：
<math display="block">P(2<W\le5)=\frac{5-2}{10}=0.3.</math>
把高度取成 <math>1/10</math>，宽度取成 3，就可以用矩形面积表示这个概率。

[[File:Gezhi-dist-uniform-density-cdf.svg|frame|center|alt=上图均匀密度在零到十分钟内为零点一，二到五分钟的面积为零点三；下图累积分布从零线性升到一，F五减F二等于零点五减零点二|上面的面积与下面的累计差表示同一个事件。纵轴 f 的单位是每分钟，F 和概率都没有单位。]]

一般地，若存在非负函数 <math>f_X</math>，使任意区间的概率可写成
<math display="block">P(a<X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx,\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1,</math>
则称分布'''绝对连续'''，<math>f_X</math> 称为'''概率密度函数'''（PDF）。通常入门教材所讲的连续分布，主要指这类有密度的分布。密度高度描述单位横轴长度内概率的密集程度；概率由面积给出。[https://live.ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/12b27e5630be533e1385ac142df8a70a_MIT6_436JF18_lec10.pdf MIT：Continuous Random Variables]

对有密度的分布，单点没有宽度，因此 <math>P(X=x)=0</math>。这不表示随机变量最后不可能取到任何数，而是每个事先指定的单点概率为零；不能把不可数个零按有限求和的方式相加。实际仪表显示“3.0 分钟”通常代表一个舍入区间，那个区间可以有正概率。

密度还可能高于一：若在 0 到 0.2 分钟之间均匀分配概率，高度为 5，每分钟；总面积依然是 <math>5\times0.2=1</math>。这没有违反概率不能超过一的规则，因为高度与概率是不同的量。

== 累积分布函数把两种情形放在一起 ==

'''累积分布函数'''（CDF）定义为
<math display="block">F_X(x)=P(X\le x).</math>
门槛 <math>x</math> 向右移动，只会包含更多结果，所以 <math>F_X</math> 单调不减，始终在 0 与 1 之间。它是右连续的，并在 <math>x\to-\infty</math>、<math>x\to+\infty</math> 时分别趋于 0、1。最常用的区间公式为
<math display="block">P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a).</math>
原因是“数值不超过 <math>b</math>”可以拆成“不超过 <math>a</math>”和“超过 <math>a</math> 但不超过 <math>b</math>”两个互斥事件。

硬币例子的累计函数为
<math display="block">F_X(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\1/4,&0\le x<1,\\3/4,&1\le x<2,\\1,&x\ge2.\end{cases}</math>
在 1 处跳高 <math>3/4-1/4=1/2</math>，正好就是 <math>P(X=1)</math>。图中空实端点表明，在跳跃点应取右侧的函数值；例如 <math>F_X(1)=3/4</math>。

这里 <math>F_X(2)-F_X(1)=1/4</math> 计算的是 <math>P(1<X\le2)</math>，不包含 <math>X=1</math>。若要包含左端点，用
<math display="block">P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a^-),\qquad F_X(a^-)=\lim_{x\uparrow a}F_X(x).</math>
对有密度的分布，端点概率为零，开闭区间概率相同；对离散分布，开闭端点经常会改变答案。

分布也可能同时有点质量和连续部分。例如，在一个合成模型中，一半请求立即完成，另一半的完成时间均匀分布在 0 到 2 分钟。那么完成时间 <math>V</math> 的累计函数为
<math display="block">F_V(v)=\begin{cases}0,&v<0,\\1/2+v/4,&0\le v\le2,\\1,&v>2.\end{cases}</math>
它先在零处跳高一半，再连续增加到一。这种混合分布不能只用普通密度曲线表达，因为曲线下面积无法承载零点处的那一半概率。更一般地，CDF 连续也不必保证存在普通密度；本组词条先讨论常用离散分布与有密度的连续分布。

== 用两个摘要看位置与分散 ==

分布确定后，可以计算[[期望]]与方差。期望是以概率为权重的平均；在绝对可积的条件下，分别写为
<math display="block">E[X]=\sum_x x p_X(x),\qquad E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\,dx.</math>
若二阶矩有限，令 <math>\mu=E[X]</math>，方差为
<math display="block">\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2.</math>
最后一个等式来自展开平方，再利用 <math>E[X]=\mu</math> 和常数的期望仍是常数。

两次硬币的例子有
<math display="block">E[X]=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1,</math>
<math display="block">E[X^2]=0+\frac12+4\cdot\frac14=\frac32,\qquad\operatorname{Var}(X)=\frac32-1=\frac12.</math>
均值为一，没有说每次都恰好出现一次正面。甚至均值和方差都相同，也不能唯一确定分布：另一变量以 <math>1/16,7/8,1/16</math> 的概率取 <math>-1,1,3</math>，均值仍为一，方差仍为一半，但它有可能取到负一，而正面次数没有这种可能。

== 从问题走向具体分布 ==

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="常用概率分布的变量参数与适用问题" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 问题与变量 !! 分布与参数 !! 支持范围与主要条件
|-
| 固定做 <math>n</math> 次，成功几次？ || [[二项分布]] <math>\operatorname{Bin}(n,p)</math>；一次试验是[[伯努利分布]] || <math>0,\ldots,n</math>；试验独立、每次成功概率相同
|-
| 反复试验，到第几次才首次成功？ || [[几何分布]]，参数 <math>p</math> || 本站默认 <math>1,2,\ldots</math>；独立同概率试验，另说明失败次数版本
|-
| 给定时间或空间窗口中发生几次？ || [[泊松分布]]，均值参数 <math>\lambda</math> || <math>0,1,\ldots</math>；适合符合相应独立、稳定发生机制的计数模型
|-
| 已知有界区间，等长部分分到相同概率 || [[均匀分布]] <math>U(a,b)</math> || <math>[a,b]</math>，<math>a<b</math>；均匀性需要依据
|-
| 齐次泊松过程还要等多久才到下一事件？ || [[指数分布]]，速率 <math>r>0</math> || <math>[0,\infty)</math>；连续等待，具有无记忆性
|-
| 一个量在中心附近对称波动 || [[正态分布]] <math>N(\mu,\sigma^2)</math> || 全体实数，<math>\sigma>0</math>；是否适合须检查机制与数据，钟形外观不充分
|-
| 正态总体均值未知、标准差用样本估计，标准化统计量怎样分布？ || [[学生t分布]]，自由度 <math>\nu</math> || 全体实数；独立正态样本的均值问题给出 <math>\nu=n-1</math>
|}
</div>

它们之间有可以沿案例学下去的联系。固定次数的成功计数与等到首次成功，分别通向二项和几何；稀有事件计数的二项极限通向泊松；同一齐次泊松过程的次数与间隔分别通向泊松和指数。正态分布描述一类数值模型，t 分布则常用来描述标准差也需估计时的统计量。变量是什么、哪些条件成立，比先背公式更能帮助选对分布。

== 数据图与理论分布怎样相互检查 ==

[[直方图]]显示已经观察到的数据，理论密度描述一个模型给出的概率。两者可以放在一起比较，但要使直方图总面积归一化为一，并统一横轴单位。样本量有限时，实际柱高会起伏；改变分组也会改变外观。肉眼像钟形，并不能证明总体正态，更不能只根据样本均值接近方差就确定是泊松分布。

模型给定参数后计算概率，是从假设向结果前进；根据数据估计参数、检查拟合与不确定性，是[[统计推断]]的方向。例如每分钟平均收到两个请求只是一个摘要，是否存在集中到达、随时段变化或相互依赖，还须检查记录。把这些条件写出来，才知道概率答案能应用到哪里。

== 参考资料 ==
* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda361.htm NIST/SEMATECH：What is a Probability Distribution]，质量、密度与归一化。
* [https://live.ocw.mit.edu/courses/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2018/12b27e5630be533e1385ac142df8a70a_MIT6_436JF18_lec10.pdf MIT 6.436J：Continuous Random Variables]，CDF、绝对连续性、密度与常用模型。
* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda362.htm NIST：Related Distributions]，密度、累计分布与分位数等概率函数。
* 先修：[[概率]]、[[函数]]、[[积分]]；后续：[[期望]]、[[统计推断]]。

[[分类:概率与统计]]

概率分布 - 版本历史

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