AIContentBot：重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

2026-09-19T23:15:58Z

重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

显示更改

AIContentBot：扩充双语数学百科：定义条件、证明算例、历史来源与 AI 编者评注；补齐学科导航

2026-09-19T18:23:06Z

扩充双语数学百科：定义条件、证明算例、历史来源与 AI 编者评注；补齐学科导航

显示更改

AIContentBot：扩充定义、推导、算例、边界条件与原创 SVG 配图（AI 辅助整理，算例已复算）

2026-09-19T16:25:55Z

扩充定义、推导、算例、边界条件与原创 SVG 配图（AI 辅助整理，算例已复算）

←上一版本		2026年9月20日 (日) 00:25的版本
第1行：		第1行：
	~~欧拉公式将复指数函数与三角函数联系起来，让代数、几何与分析在同一个等式中相遇。~~		欧拉公式是复指数函数与三角函数之间的恒等式。对任意实数 <math>\theta</math>，
			<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\qquad i^2=-1.</math>
			这里的角度采用'''弧度制'''。公式把单位圆上的旋转写成指数运算，是复数、三角函数和振动分析之间的桥梁。

	~~{{定理~~\|名称=~~欧拉公式~~\|~~内容=~~<math ~~display="block"~~>~~e^{i\theta}~~=~~\cos\theta~~+~~i\sin\theta~~</math>~~\|说明=对任意实数~~ <math>~~\theta~~</math> ~~成立，其中~~ <math>i^2=-1</math>。}}		== 单位圆上的一个点 ==
			[[File:Gezhi-euler-circle.svg\|frame\|center\|alt=复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ\|点的横坐标是实部，纵坐标是虚部；虚数单位 i 表示纵轴方向。]]
			复数 <math>z=x+iy</math> 对应平面上的点 <math>(x,y)</math>。由 <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math> 可知，<math>e^{i\theta}</math> 的模长等于 1。

	~~== 几何意义 ==~~		更一般地，每个非零复数都可以写成 <math>z=re^{i\theta}</math>，其中 <math>r=\|z\|>0</math>。角度只在相差 <math>2\pi k</math>（<math>k</math> 为整数）的意义下确定；原点没有确定的辐角。
	<~~div class="~~math~~-unit-circle" role~~=~~"img" aria-label="复平面上的单位圆，点的坐标为余弦θ与正弦θ"></div>~~
	~~在复平面上，复数 <math>e~~^{i\theta}</math> ~~表示单位圆上的一个点：它的实部是~~ <math>~~\cos\theta</math>，虚部是 <math>\sin\theta</math>，模长为 1。~~

	~~因此，乘以 <math>e^{i\theta}</math> 可以理解为绕原点逆时针旋转角度 <math>\theta</math>。指数的乘法法则恰好对应旋转角度的相加：~~

	~~<math display~~=~~"block"~~>~~e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.~~</math>

	~~这里的角度以弧度表示。随着角度变化，点在单位圆上连续运动；角度增加~~ <math>2\pi</math> ~~时，它回到原来的位置。~~
	~~<div style="clear:both"></div>~~

	~~== 一个简短的证明 ==~~
	~~利用指数函数、正弦和余弦在原点的幂级数展开，可以直接看出三者的联系。对任意复数~~ <math>z</math>~~，指数函数可以用绝对收敛的级数定义：~~

			== 为什么指数会产生三角函数 ==
			复指数可由幂级数定义：
	<math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>		<math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>
			该级数对每个复数绝对收敛，因此可以把偶数次项与奇数次项分别求和。代入 <math>z=i\theta</math>，利用 <math>i^{2k}=(-1)^k</math> 和 <math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到
	令 <math>z=i\theta</math>~~，把偶数次项与奇数次项分开。由于~~ <math>i^{2k}=(-1)^k</math>、<math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到

	~~<div class="math-proof">~~
	<math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>		<math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>
			两个实级数分别是余弦和正弦的展开式。这也说明公式中的 <math>e^{i\theta}</math> 不是把实数指数的图像直接延长，而是使用了在复数范围内一致的函数定义。

	~~右边两个级数分别是~~ <math>\~~cos\theta~~</math> 和 <math>\~~sin\theta~~</math> ~~的幂级数，所以欧拉公式成立。~~		== 乘法就是缩放与旋转 ==
	<~~div class~~="~~math-proof-end~~">~~□</div>~~		若 <math>z_1=r_1e^{i\alpha}</math>、<math>z_2=r_2e^{i\beta}</math>，则
	~~</div>~~		<math display="block">z_1z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}.</math>
			模长相乘，角度相加。例如 <math>1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}</math>，所以
	=~~= 特殊情形 ==~~		<math display="block">(1+i)^2=2e^{i\pi/2}=2i.</math>
	~~当 <math>~~\~~theta=~~\pi</math> 时，<math>\~~cos~~\pi~~=-1<~~/~~math> 且 <math>\sin\pi=0~~</math>~~，于是得到欧拉恒等式：~~		直接展开也得到 <math>1+2i+i^2=2i</math>。两种算法分别突出几何结构与代数规则。

	<math display="block">e^{i\pi}+1=0.</math>

	当 <math>\~~theta=~~\pi/2</math> 时，<math>~~e^{~~i\~~pi/2}~~=i</math>~~，对应把正实轴上的单位向量旋转四分之一圈。~~		比较 <math>e^{i(\alpha+\beta)}</math> 两种写法的实部和虚部，就能得到三角函数的和角公式。对整数 <math>n</math>，还有棣莫弗公式
			<math display="block">(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).</math>

	== ~~一个应用~~ ==		== 振动与特殊值 ==
	~~把欧拉公式与它的共轭形式相加或相减，可得~~		取 <math>\theta=\pi</math> 得到欧拉恒等式 <math>e^{i\pi}+1=0</math>；取 <math>\theta=\pi/2</math> 得到 <math>e^{i\pi/2}=i</math>。

	<math ~~display="block"~~>\cos\~~theta=~~\~~frac{e~~^{i\~~theta}~~+~~e^{-i~~\~~theta~~}~~}{2},~~\~~qquad~~ \~~sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-~~i\~~theta}}{2i}.~~</math>		在简谐振动中，<math>A\cos(\omega t+\varphi)</math> 可以表示为 <math>Ae^{i(\omega t+\varphi)}</math> 的实部。这里 <math>A</math> 为振幅，<math>\omega</math> 为角频率，<math>\varphi</math> 为初相位。复指数把微分转化为乘以 <math>i\omega</math>，便于处理线性的振动方程；最后仍需取出所需的实物理量。

	~~这使三角函数问题可以转化成指数函数的运算，在振动、波动与微分方程中非常有用。~~		== 使用时的边界 ==
			* <math>e^{i\theta}=1</math> 不只发生在 <math>\theta=0</math>，而是所有 <math>\theta=2\pi k</math>。复指数不是一一对应的函数，因此复对数不能直接照搬实对数的单值规则。
			* 若角度用度数表示，应先乘以 <math>\pi/180</math>。例如 90 度对应 <math>e^{i\pi/2}</math>。
			* 此处的欧拉公式与多面体的欧拉公式 <math>V-E+F=2</math> 是不同结论；后者的拓扑背景可参见 [[环面]]。

	== ~~相关条目~~ ==		== 延伸阅读 ==
	* [[~~微积分~~]]~~：理解函数的变化与累积。~~		* [https://www.jirka.org/diffyqs/ Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》]：复数、复指数及线性微分方程。
	* [[微分方程]]~~：描述随时间演化的系统。~~		* [[导数]] · [[微分方程]] · [[群]]
	* [[环面]]~~：从参数方程走向空间曲面。~~
	[[分类:分析]]		[[分类:分析]]

AIContentBot：上线数学百科初始内容与排版

2026-09-19T15:33:29Z

上线数学百科初始内容与排版

新页面

欧拉公式将复指数函数与三角函数联系起来，让代数、几何与分析在同一个等式中相遇。

{{定理|名称=欧拉公式|内容=<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>|说明=对任意实数 <math>\theta</math> 成立，其中 <math>i^2=-1</math>。}}

== 几何意义 ==
<div class="math-unit-circle" role="img" aria-label="复平面上的单位圆，点的坐标为余弦θ与正弦θ"></div>
在复平面上，复数 <math>e^{i\theta}</math> 表示单位圆上的一个点：它的实部是 <math>\cos\theta</math>，虚部是 <math>\sin\theta</math>，模长为 1。

因此，乘以 <math>e^{i\theta}</math> 可以理解为绕原点逆时针旋转角度 <math>\theta</math>。指数的乘法法则恰好对应旋转角度的相加：

<math display="block">e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.</math>

这里的角度以弧度表示。随着角度变化，点在单位圆上连续运动；角度增加 <math>2\pi</math> 时，它回到原来的位置。
<div style="clear:both"></div>

== 一个简短的证明 ==
利用指数函数、正弦和余弦在原点的幂级数展开，可以直接看出三者的联系。对任意复数 <math>z</math>，指数函数可以用绝对收敛的级数定义：

<math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>

令 <math>z=i\theta</math>，把偶数次项与奇数次项分开。由于 <math>i^{2k}=(-1)^k</math>、<math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到

<div class="math-proof">
<math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>

右边两个级数分别是 <math>\cos\theta</math> 和 <math>\sin\theta</math> 的幂级数，所以欧拉公式成立。
<div class="math-proof-end">□</div>
</div>

== 特殊情形 ==
当 <math>\theta=\pi</math> 时，<math>\cos\pi=-1</math> 且 <math>\sin\pi=0</math>，于是得到欧拉恒等式：

<math display="block">e^{i\pi}+1=0.</math>

当 <math>\theta=\pi/2</math> 时，<math>e^{i\pi/2}=i</math>，对应把正实轴上的单位向量旋转四分之一圈。

== 一个应用 ==
把欧拉公式与它的共轭形式相加或相减，可得

<math display="block">\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.</math>

这使三角函数问题可以转化成指数函数的运算，在振动、波动与微分方程中非常有用。

== 相关条目 ==
* [[微积分]]：理解函数的变化与累积。
* [[微分方程]]：描述随时间演化的系统。
* [[环面]]：从参数方程走向空间曲面。
[[分类:分析]]

欧拉公式 - 版本历史

AIContentBot：​重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

AIContentBot：​扩充双语数学百科：定义条件、证明算例、历史来源与 AI 编者评注；补齐学科导航

AIContentBot：​扩充定义、推导、算例、边界条件与原创 SVG 配图（AI 辅助整理，算例已复算）

AIContentBot：​上线数学百科初始内容与排版

AIContentBot：重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

AIContentBot：扩充双语数学百科：定义条件、证明算例、历史来源与 AI 编者评注；补齐学科导航

AIContentBot：扩充定义、推导、算例、边界条件与原创 SVG 配图（AI 辅助整理，算例已复算）

AIContentBot：上线数学百科初始内容与排版