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海伦公式 - 版本历史
2026-04-18T11:28:28Z
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Gezhikaiwu：/* 推导 */
2023-11-10T18:39:51Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">推导</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<tr class="diff-title" lang="zh">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">←上一版本</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">2023年11月11日 (六) 02:39的版本</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l20">第20行：</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">第20行：</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>1. 首先，定义半周长 <math>s</math> 为三边之和的一半，即 <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>。</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>1. 首先，定义半周长 <math>s</math> 为三边之和的一半，即 <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>。</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>2. 考虑到任意一个角，例如角 <math>\gamma</math>，我们可以用余弦定理表示为：</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>2. 考虑到任意一个角，例如角 <math>\gamma</math>，我们可以用<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[ </ins>余弦定理<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]] </ins>表示为：</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> <math>\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}</math></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> <math>\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}</math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>3. 然后，利用正弦定理，我们可以知道 <math>\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma }</math>。</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>3. 然后，利用<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[ </ins>正弦定理<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]] </ins>，我们可以知道 <math>\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma }</math>。</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>4. 三角形的面积可以表示为 <math>A = \frac{1}{2}ab \sin \gamma</math>。</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>4. 三角形的面积可以表示为 <math>A = \frac{1}{2}ab \sin \gamma</math>。</div></td></tr>
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Gezhikaiwu
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Gezhikaiwu：/* 历史背景 */
2023-11-10T17:58:20Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">历史背景</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<tr class="diff-title" lang="zh">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">←上一版本</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">2023年11月11日 (六) 01:58的版本</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l14">第14行：</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">第14行：</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 历史背景 ===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 历史背景 ===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> 海伦公式起源于古希腊，由海伦（公元10 - 70年）提出。海伦是一位著名的数学家和工程师，他的工作主要集中在几何、物理和工程学等领域。海伦公式是他在《度量论》（Metrica）一书中提出的，这本书是关于几何测量的综合性著作。</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> 海伦公式起源于古希腊，由海伦（公元10 - 70年）提出。海伦是一位著名的数学家和工程师，他的工作主要集中在几何、物理和工程学等领域。海伦公式是他在《度量论》（Metrica）一书中提出的，这本书是关于几何测量的综合性著作。</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:海伦公式.png|thumb]]</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:海伦公式 <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">示意图</ins>.png|thumb]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 推导 ===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 推导 ===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> 海伦公式的推导可以分为以下几个步骤：</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> 海伦公式的推导可以分为以下几个步骤：</div></td></tr>
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Gezhikaiwu
https://gezhi.wiki/index.php?title=%E6%B5%B7%E4%BC%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F&diff=87&oldid=prev
Gezhikaiwu：/* 海伦公式 (Heron's formula) */
2023-11-10T17:56:03Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">海伦公式 (Heron's formula)</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<tr class="diff-title" lang="zh">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">←上一版本</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">2023年11月11日 (六) 01:56的版本</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l14">第14行：</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">第14行：</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 历史背景 ===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 历史背景 ===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> 海伦公式起源于古希腊，由海伦（公元10 - 70年）提出。海伦是一位著名的数学家和工程师，他的工作主要集中在几何、物理和工程学等领域。海伦公式是他在《度量论》（Metrica）一书中提出的，这本书是关于几何测量的综合性著作。</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> 海伦公式起源于古希腊，由海伦（公元10 - 70年）提出。海伦是一位著名的数学家和工程师，他的工作主要集中在几何、物理和工程学等领域。海伦公式是他在《度量论》（Metrica）一书中提出的，这本书是关于几何测量的综合性著作。</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[File:海伦公式.png|thumb]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 推导 ===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=== 推导 ===</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l26">第26行：</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">第27行：</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>3. 然后，利用正弦定理，我们可以知道 <math>\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma }</math>。</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>3. 然后，利用正弦定理，我们可以知道 <math>\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma }</math>。</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>4. 三角形的面积可以表示为 <math>A = \frac{1}{2}ab \sin <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">C</del></math>。</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>4. 三角形的面积可以表示为 <math>A = \frac{1}{2}ab \sin <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\gamma</ins></math>。</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>5. 通过将余弦定理和正弦定理结合，并替换为半周长的形式，可以得到：</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>5. 通过将余弦定理和正弦定理结合，并替换为半周长的形式，可以得到：</div></td></tr>
</table>
Gezhikaiwu
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Gezhikaiwu：创建页面，内容为“== 海伦公式 (Heron's formula) == 海伦公式，以古希腊数学家海伦（Heron of Alexandria）的名字命名，是用于计算任意三角形面积的公式。该公式适用于已知三角形三边长度的情况。 === 定义 === 设三角形的三边长分别为 <math>a</math>、<math>b</math> 和 <math>c</math>，其半周长记为 <math>s</math>，则海伦公式可以表示为： <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math> 三角形的面积 <math…”
2023-11-10T17:53:23Z
<p>创建页面，内容为“== 海伦公式 (Heron's formula) == 海伦公式，以古希腊数学家海伦（Heron of Alexandria）的名字命名，是用于计算任意三角形面积的公式。该公式适用于已知三角形三边长度的情况。 === 定义 === 设三角形的三边长分别为 <math>a</math>、<math>b</math> 和 <math>c</math>，其半周长记为 <math>s</math>，则海伦公式可以表示为： <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math> 三角形的面积 <math…”</p>
<p><b>新页面</b></p><div>== 海伦公式 (Heron's formula) ==<br />
<br />
海伦公式，以古希腊数学家海伦（Heron of Alexandria）的名字命名，是用于计算任意三角形面积的公式。该公式适用于已知三角形三边长度的情况。<br />
<br />
=== 定义 ===<br />
设三角形的三边长分别为 <math>a</math>、<math>b</math> 和 <math>c</math>，其半周长记为 <math>s</math>，则海伦公式可以表示为：<br />
<br />
<math>s = \frac{a + b + c}{2}</math><br />
<br />
三角形的面积 <math>A</math> 可以通过以下公式计算：<br />
<br />
<math>A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}</math><br />
<br />
=== 历史背景 ===<br />
海伦公式起源于古希腊，由海伦（公元10 - 70年）提出。海伦是一位著名的数学家和工程师，他的工作主要集中在几何、物理和工程学等领域。海伦公式是他在《度量论》（Metrica）一书中提出的，这本书是关于几何测量的综合性著作。<br />
<br />
=== 推导 ===<br />
海伦公式的推导可以分为以下几个步骤：<br />
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1. 首先，定义半周长 <math>s</math> 为三边之和的一半，即 <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>。<br />
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2. 考虑到任意一个角，例如角 <math>\gamma</math>，我们可以用余弦定理表示为：<br />
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<math>\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}</math><br />
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3. 然后，利用正弦定理，我们可以知道 <math>\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma }</math>。<br />
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4. 三角形的面积可以表示为 <math>A = \frac{1}{2}ab \sin C</math>。<br />
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5. 通过将余弦定理和正弦定理结合，并替换为半周长的形式，可以得到：<br />
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<math>A = \frac{1}{2}ab \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2}</math><br />
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6. 经过数学上的变形和简化，最终可以得到海伦公式的标准形式：<br />
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<math>A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}</math><br />
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=== 应用 ===<br />
海伦公式在各个领域都有广泛的应用，尤其是在土木工程、建筑设计、航空航天和计算机图形学等领域。它为计算不规则形状的面积提供了一种有效的数学工具，特别是在只知道边长而不知道角度的情况下。<br />
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总的来说，海伦公式是数学领域中一个重要的公式，它不仅具有重要的理论价值，同时也在实际应用中发挥着重要作用。</div>
Gezhikaiwu