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重编数学讲解：连贯例题、逐步推导与多幅过程图；更新写作规范

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@@ 第1行： / 第1行： @@
-积分把局部的量累积为整体。定积分可以表示有向面积、总路程或总质量等量，具体含义取决于被积函数。
+积分是把局部贡献汇总成整体量的数学运算。定积分给出指定区间内的累计量；不定积分表示一个函数的全部原函数。二者通过[[微积分]]基本定理联系起来，但含义并不相同。
-== 核心表达 ==
+== 从小矩形到黎曼积分 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>}}
+设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 上有界，把区间分成小段，在第 <math>i</math> 段选择一点 <math>\xi_i</math>，构造和
-== 直觉与例子 ==
+[[File:Gezhi-integral-sums.svg|frame|center|alt=在零到一区间用四个右端点矩形近似曲线y等于x平方下面的面积|右端点矩形在递增函数的图像上方，给出高估；不断细分后，矩形总面积趋于积分。]]
-== 继续阅读 ==
+对 <math>f(x)=x^2</math>、区间 <math>[0,1]</math>，等分成 <math>n</math> 段并取右端点：
-* [[导数]]
+<math display="block">\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\frac1n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\longrightarrow\frac13.</math>
-* [[微积分]]
+因此 <math>\int_0^1x^2\,dx=1/3</math>。这里积分的值来自极限，随后才可以用原函数更快捷地计算。
 [[分类:分析]]

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2026-09-19T15:33:34Z

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积分把局部的量累积为整体。定积分可以表示有向面积、总路程或总质量等量，具体含义取决于被积函数。

== 核心表达 ==
{{定义|内容=<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>}}

== 直觉与例子 ==
当 f 在闭区间 [a,b] 上连续、F 是它的一个原函数时，上式成立。例如从 0 到 1 对 x 积分，结果为 1/2。

== 继续阅读 ==
* [[导数]]
* [[微积分]]
[[分类:分析]]

积分 - 版本历史

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