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2026-09-20T00:47:38Z

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'''箱线图'''（box plot，又称箱须图）用一个箱体、中位数线和两端的须概括一批数值的位置与分散程度，适合在相同尺度上比较多组数据。箱体两端通常对应第一、第三四分位数；须的画法有不同约定。本文采用明确的线性插值四分位数，以及“延伸到 1.5 倍四分位距围栏以内的最远实际观测”的须。

== 从十二次等候开始 ==

下面十二个数表示十二次等候时间，单位为分钟。它们是为了演示计算而构造的合成数据，已按从小到大排列：

<math display="block">2,3,4,5,5,6,7,8,9,10,12,25.</math>

最短为 2 分钟，最长为 25 分钟，但只报这两个数，会把大部分观察集中在 4 到 10 分钟附近的事实隐藏掉。先找排序后的中间位置：十二个数的中间是第六个 6 和第七个 7，因此'''中位数'''为

<math display="block">Q_2=\frac{6+7}{2}=6.5.</math>

它表示中间的分界，而不是所有时间相加后的平均。这里六个值在 6.5 以下，六个值在 6.5 以上。样本量为奇数时，中位数直接取正中间的观察；有重复值时，中位数两侧不一定各有严格一半不同的值。

只用中位数仍不知道这些观察挤得紧不紧。把排序位置继续分到四分之一和四分之三，就得到'''第一四分位数''' <math>Q_1</math> 与'''第三四分位数''' <math>Q_3</math>。它们划出数据中部的一段范围。有限样本的“四分之一位置”常落在两个观察之间，因此需要说明插值规则。

== 四分位数怎样算：固定一种可复算的规则 ==

本文所有图采用 R 的 <code>quantile(..., type = 7)</code> 所对应的线性插值规则。它把排好序的 <math>n</math> 个观察记为 <math>x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}</math>；括号下标表示排序位置，而不是某个观察的原始编号。要找比例位置 <math>p\in[0,1]</math> 的分位数，先算

<math display="block">h=1+(n-1)p.</math>

如果 <math>h</math> 是整数，就取第 <math>h</math> 个观察；如果 <math>h=j+g</math>，其中 <math>j</math> 是整数部分、<math>0<g<1</math>，就取

<math display="block">Q(p)=x_{(j)}+g\bigl(x_{(j+1)}-x_{(j)}\bigr).</math>

这表示从第 <math>j</math> 个值向下一个值走完差距的 <math>g</math> 部分。端点 <math>p=0,1</math> 分别取最小值与最大值；仅有一个观察时，各分位数都等于那个值。这个算法并非唯一的样本分位数定义。R 官方文档列出九种方法，并明确其默认值为 type 7。[https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/quantile.html R：Sample Quantiles，Type 7]

对本例 <math>n=12</math>，第一四分位数的比例位置为 <math>p=0.25</math>，于是

<math display="block">h=1+11\times0.25=3.75.</math>

第 3 个值为 4，第 4 个值为 5，在它们之间走四分之三的距离，得到

<math display="block">Q_1=4+0.75(5-4)=4.75.</math>

第三四分位数取 <math>p=0.75</math>，位置为 <math>1+11\times0.75=9.25</math>。第 9、10 个值为 9、10，因此

<math display="block">Q_3=9+0.25(10-9)=9.25.</math>

把 <math>p=0.5</math> 代入也会得到位置 6.5，插值得出前面的中位数 6.5。这样，最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值组成的'''五数概括'''为

<math display="block">(2,\ 4.75,\ 6.5,\ 9.25,\ 25).</math>

另一种常见课堂约定是把偶数样本分成上下两半，分别取这两半的中位数。对同一组十二个数，它给出 <math>Q_1=(4+5)/2=4.5</math>、<math>Q_3=(9+10)/2=9.5</math>。差别来自约定，不能靠把小数四舍五入消除。尤其要注意，R 默认箱线图使用的上下“铰链”（hinges）也不总等于其默认 <code>quantile</code> 的四分位数；R 的箱线统计文档专门说明了偶数样本下的差异。[https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/grDevices/html/boxplot.stats.html R：Box Plot Statistics，Details]

== 箱、围栏和须分别画在哪里 ==

先画从 <math>Q_1=4.75</math> 到 <math>Q_3=9.25</math> 的箱体，再在 <math>Q_2=6.5</math> 处画一条中位数线。箱体沿数轴方向的长度为'''四分位距'''：

<math display="block">\operatorname{IQR}=Q_3-Q_1=9.25-4.75=4.5.</math>

本例在箱体两端之间有 5、5、6、7、8、9，共六个观察，恰好占一半。一般说箱体概括“中间约一半”数据更妥当：四分位数是位置摘要，有插值或大量重复值时，落在闭区间 <math>[Q_1,Q_3]</math> 内的观察比例不一定正好是 50%。

接着计算两道围栏。围栏用于决定哪些点单独标出，它们的距离是箱体长度的 1.5 倍：

<math display="block">1.5\operatorname{IQR}=1.5\times4.5=6.75,</math>
<math display="block">L=Q_1-1.5\operatorname{IQR}=4.75-6.75=-2,</math>
<math display="block">U=Q_3+1.5\operatorname{IQR}=9.25+6.75=16.</math>

这里下围栏为负数不表示有人等候了负的时间；它只是按给定规则计算的界限。十二个观察里，2 到 12 都在 <math>[-2,16]</math> 内，25 在外。因此下须伸到 2，上须伸到 12，25 另画一个点。

[[File:Gezhi-stats-boxplot-construction.svg|frame|center|alt=十二个等候时间的箱线图，箱体从四点七五到九点二五，中位数六点五，须到实际观察二和十二；虚线围栏位于负二与十六，二十五在上围栏外单独画点|箱体、围栏与实际观察分开标示。虚线只帮助解释计算；通常成图可以不画围栏。下方点列保留全部十二次观察。]]

图中最值得核对的是 12 和 16：'''上须止于实际观察 12，而不是算出的围栏 16。''' 类似地，下须止于实际观察 2，而不是下围栏 −2。若恰有观察等于围栏，本文把它算在围栏以内。这与 R 文档中“不超过指定倍数”的须规则一致。五数概括里的最大值仍是 25；使用围栏以后，图上须的两个端点就不再总是样本最小值和最大值。

具体地，在数据里找出所有满足 <math>L\le x_i\le U</math> 的观察，以其中最小者和最大者为须的终点；满足 <math>x_i<L</math> 或 <math>x_i>U</math> 的点另行标出。有些箱线图直接把须伸到最小值、最大值，有些使用指定百分位数。NIST 也分别介绍了极值须与带围栏的变式，所以读图时应先查看须的定义。[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/boxplot.htm NIST：Box Plot]

== 一个离群点告诉了我们什么 ==

25 被单独画出，准确含义是“按照当前四分位数与 1.5 IQR 规则，它超出了围栏”。它可能是一次真实的长等候，也可能来自不同服务情境、录入错误或测量问题；仅凭这个符号无法决定原因，更不能据此自动删除数据。应回查这次观察的单位、采集记录和发生条件，再决定怎样处理。NIST 的离群值章节也把识别、调查与处理区分开来。[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section1/prc16.htm NIST：What are outliers in the data?]

这个例子还能说明箱线图对极端大小的敏感程度。把最后的 25 改成 250，排序的前十一个位置都不变，<math>Q_1,Q_2,Q_3</math> 也都不变，须仍在 2 和 12；单独标出的点移到了 250。平均数则会增加

<math display="block">\frac{250-25}{12}=18.75.</math>

平均数上升了 18.75 分钟。箱体较稳定，是因为这些分位数只依赖特定排序位置附近的值；这并不意味着更大的末端观察不重要。若关心最坏等待或总等待成本，那个远处的点恰恰不能被箱体代替。

1.5 是常用的描述规则，不是“出错概率为 5%”的阈值，也不保证所有总体有相同的离群点比例。对于 <math>0,0,0,0,10</math>，按本文规则 <math>Q_1=Q_2=Q_3=0</math>，四分位距为零，箱体缩成一条线，两道围栏也都在 0，10 会被标出。四个零可以是四次真实的零等待；这幅图既没有否定它们，也没有证明 10 是错误。它提示我们在这种重复值很多的数据里同时查看原始点列。

== 相同箱线图为什么可能来自不同分布 ==

再比较两组合成数据，每组 17 个数，单位可以仍取分钟。A 组均匀地从 0 递增到 8，每次增加 0.5；B 组则在少数位置重复：

<math display="block">A:\quad 0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,</math>
<math display="block">B:\quad 0,0,0,0,2,2,2,2,4,6,6,6,6,8,8,8,8.</math>

因为 <math>n=17</math>，四分位数的位置分别是

<math display="block">1+16\times0.25=5,\quad1+16\times0.5=9,\quad1+16\times0.75=13.</math>

在两组中，第 5、9、13 个值都为 2、4、6，所以五数概括都为 <math>(0,2,4,6,8)</math>。四分位距均为 4，围栏为 −4 与 12，全部观察在围栏内，两组须都伸到 0 与 8。按本文规则画出的箱线图完全相同。

[[File:Gezhi-stats-boxplot-hidden-shape.svg|frame|center|alt=A组十七个值从零到八每半个单位一个，B组在零二六八各有四个重复值且在四有一个值；两组都得到零二四六八的相同五数概括与相同箱线图|每一组的点列与箱线图放在一起。重复观测竖向堆叠，竖向位置只为避免重叠，不代表第二个变量。]]

看图中的点列，A 在 0 到 8 之间分散铺开；B 在 0、2、6、8 各堆了四个点，其余只有中间的 4。箱体保留了排序中的几个位置，却没有保留这些位置之间怎样分布。这个具体例子说明了为什么[[直方图]]或原始点图能补充箱线图：它们展示的是被五数摘要压缩掉的内部形状。

甚至箱体对称、两根须一样长，也不足以认定原始点列对称。把 A 中的 0.5 改成 0.2，第 5、9、13 个观察以及两端仍不变，箱线图原封不动；但 7.5 关于中位数 4 的对称位置 0.5 已经没有观察。仅凭箱线图的外形，也就不能认定数据来自正态分布。

== 用来比较多组时怎样读 ==

若比较两家服务点的等待，先保持时间单位与数轴尺度相同，再比较中位数线的位置。中位数更靠右，说明这组的中间等待较长；箱体更长，说明从第一到第三四分位数之间更分散。须和单独的点补充两端的情况。

箱体垂直于数轴的厚度通常只是排版选择，本篇各图也是如此。它没有编码样本量，因此不能因为某个箱子画得粗一些，就说这一组人数更多。实际比较应把 <math>n</math> 标在组名旁，并说明缺失记录与分组标准。一组只有五次观察、另一组有五百次观察，即使箱体碰巧相似，摘要的稳定程度也不同。

箱体是否重叠并不是通用的显著性检验。若要判断服务差异能否推广到总体，或是否由服务措施造成，还要使用[[统计推断]]并检查采样与研究设计。箱线图可以把值得追问的差异显出来，但图上两条中位数线的位置本身不提供随机化或因果证据。

== 探索性数据分析中的发展 ==

John W. Tukey 在 1977 年的 ''Exploratory Data Analysis'' 第 2C 节系统介绍了箱线图这一数据摘要；R 的箱线统计官方文档把该书列为直接来源。1978 年，Robert McGill、Tukey 与 Wayne A. Larsen 在 ''The American Statistician'' 发表 ''Variations of Box Plots''，讨论用箱宽体现组规模、用缺口辅助比较中位数等变式。[https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/grDevices/html/boxplot.stats.html R 官方参考书目]；[https://doi.org/10.1080/00031305.1978.10479236 McGill、Tukey、Larsen，1978，32(1)：12–16]

这些变式针对不同的比较任务；增加符号并不会让所有箱线图具有相同含义。普通箱线图先把中位数、四分位数、须和单独标出的点解释清楚，再按分析目的选择变式，便能保留这种摘要的简洁性。其他统计图的选择见[[统计图]]。

== 参考资料 ==

* R Core Team，[https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/quantile.html quantile：Sample Quantiles]，Types 中的 Type 7：本文四分位数的计算规则。
* R Core Team，[https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/grDevices/html/boxplot.stats.html boxplot.stats：Box Plot Statistics]：须、铰链与默认分位数的差别，以及相关原始文献。
* NIST/SEMATECH，''e-Handbook of Statistical Methods''，[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/boxplot.htm §1.3.3.7 Box Plot]：基本箱线图与围栏变式。
* NIST/SEMATECH，[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section1/prc16.htm §7.1.6 What are outliers in the data?]：离群观察的识别和调查。
* Tukey, J. W.（1977），''Exploratory Data Analysis''，Addison-Wesley，§2C，ISBN 9780201076165；书目信息见上述 R 官方文档。
* McGill, R., Tukey, J. W., Larsen, W. A.（1978），[https://doi.org/10.1080/00031305.1978.10479236 Variations of Box Plots]，''The American Statistician''，32(1)，12–16；[https://www.sci.utah.edu/~kpotter/Library/Papers/mcgill:1978:VOBP/ 犹他大学论文目录]。

[[分类:概率与统计]]

箱线图 - 版本历史

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