佩亞諾公理

佩亞諾公理（Peano Axioms）是一組描述自然數的基本屬性的公理，它們由義大利數學家喬瓦尼·佩亞諾（Giuseppe Peano）於1889年首次提出。佩亞諾公理對自然數進行了公理化的處理，證明自然數的性質可以在幾條基本公理的基礎上進行推導。這一公理系統對數學的發展有著重要影響，尤其是在數理邏輯和集合論方面。

佩亞諾公理系統由五條公理組成，定義了一個二元組$(N,S)$，其中$N$是一個非空集合，$S$是一個從$N$到$N$的映射，這五條公理如下：

1. 0是自然數（在此處，0通常用來表示自然數的起始元素，但有些版本的佩亞諾公理會使用1）。
2. 對每一個自然數$n$，$S(n)$也是自然數。
3. 對每一個自然數$n$，有$S(n)$不等於0。
4. 如果$n$和$m$是自然數且$S(n)$等於$S(m)$，則$n$等於m。
5. 如果一個子集$A$包含了0，並且對於任何在$A$中的自然數$n$，$S(n)$也在$A$中，那麼$A$就等於全體自然數$N$。

上述公理規定了自然數的起點（公理1），並確保了每個自然數都有一個後繼（公理2），同時保證0不是任何自然數的後繼（公理3），並且每個自然數都有唯一的後繼（公理4）。最後的公理5，也就是歸納法原理，保證了所有自然數都可以通過「零和後繼」過程生成。這五條公理組成的佩亞諾公理系統為自然數的理論基礎打下了堅實的基礎。