高斯模型，也被稱為正態分布或者高斯分布，是一種在自然和社會科學中廣泛存在的連續概率分布。
定義
高斯模型的概率密度函數（PDF）為： 其中，是均值，是方差。
統計性質
- 均值（Mean）：
- 眾數（Mode）：
- 標準差（Standard Deviation）：
- 方差（Variance）：
- 偏度（Skewness）：0
累積分布函數
高斯模型的累積分布函數（CDF）為：
百分位數
- 10th：
- 25th：
- 50th：
- 75th：
- 90th：
應用
高斯模型在許多領域都有廣泛的應用。以下是一些具體的應用案例：
1. 信號處理：在信號處理中，噪聲通常被假設為高斯分布。這是因為許多獨立的小效應的總和通常會形成高斯噪聲。
2. 機器學習：在機器學習中，許多算法（如線性回歸、支持向量機等）的誤差項通常被假設為高斯分布。此外，高斯混合模型和高斯過程也是機器學習中常用的模型。
3. 統計質量控制：在製造業中，產品的質量通常被假設為高斯分布。這使得我們可以使用各種統計方法（如控制圖）來監控和改進位造過程。
4. 自然科學：在物理學、生物學等自然科學中，許多現象的測量結果都服從高斯分布。例如，測量誤差、生物種群的身高和體重等。
5. 社會科學：在經濟學、心理學等社會科學中，許多現象也服從高斯分布。例如，人們的收入、智商分數等。
6. 醫學研究：在醫學研究中，許多生物標誌物的測量結果通常服從高斯分布。這使得我們可以使用各種統計方法來分析數據和做出推斷。
7. 金融：在金融中，資產的收益率和價格變動通常被假設為高斯分布。這使得我們可以使用各種統計方法來分析風險和做出投資決策。
8. 天文學：在天文學中，許多測量結果（如星星的亮度、行星的位置等）也服從高斯分布。這使得我們可以使用各種統計方法來分析數據和研究宇宙。
中心極限定理
中心極限定理是高斯分布的一個重要性質，它表明，如果我們從任何一個分布中抽取大量的樣本，那麼這些樣本的平均值將服從高斯分布。這也是為什麼高斯分布在自然和社會科學中如此普遍的原因。
參數估計
對於高斯模型，我們通常使用最大似然估計來估計其參數（均值和方差）。這些參數的最大似然估計可以通過簡單的公式直接計算。
多元高斯分布
除了一元高斯分布，還存在多元高斯分布，用於描述多個隨機變量的聯合分布。多元高斯分布的參數包括一個均值向量和一個協方差矩陣。
高斯過程
高斯過程是一種隨機過程，其任何有限個維度的邊緣分布都是高斯分布。高斯過程在機器學習中有廣泛的應用，例如在高斯過程回歸和高斯過程分類中。
正態性檢驗
在實際應用中，我們通常需要檢驗一個數據集是否服從高斯分布。這可以通過多種正態性檢驗方法來實現，例如Kolmogorov-Smirnov檢驗、Shapiro-Wilk檢驗等。