柯西不等式

柯西不等式

柯西不等式（Cauchy-Schwarz不等式）是数学中的一个重要不等式，在线性代数、数学分析等多个领域中有广泛应用。它说明了在实或复数向量空间中，两个向量的点积的绝对值不大于这两个向量的模的乘积。

定义

对于任意实数序列$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$和$b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$，柯西不等式可以表示为： $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)$

在欧几里得空间中，若以向量形式表示，对于任意向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$： $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}\leq ({\vec {a}}\cdot {\vec {a}})({\vec {b}}\cdot {\vec {b}})$

历史背景

这个不等式最早由奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出。后来，赫尔曼·施瓦茨也独立发现了这一结果，因此这个不等式有时也被称为柯西-施瓦茨不等式。

推导过程

考虑实数序列$\{a_{i}\}$和$\{b_{i}\}$，构造一个关于实数$t$的二次函数： $f(t)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}t+b_{i})^{2}$ 显然，对于所有的$t$，有$f(t)\geq 0$。展开并重新组合，可以得到关于$t$的二次方程。因为这个方程的判别式必须小于或等于0，所以可以推导出柯西不等式。

应用场景

柯西不等式在物理学中描述能量和功的关系，在统计学中用于相关系数的计算，在机器学习的支持向量机算法中也有重要应用。此外，它也是许多数学证明的基础工具。