柯西不等式

柯西不等式

柯西不等式（Cauchy-Schwarz不等式）是數學中的一個重要不等式，在線性代數、數學分析等多個領域中有廣泛應用。它說明了在實或複數向量空間中，兩個向量的點積的絕對值不大於這兩個向量的模的乘積。

定義

對於任意實數序列$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$和$b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$，柯西不等式可以表示為： $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)$

在歐幾里得空間中，若以向量形式表示，對於任意向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$： $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}\leq ({\vec {a}}\cdot {\vec {a}})({\vec {b}}\cdot {\vec {b}})$

歷史背景

這個不等式最早由奧古斯丁·路易·柯西在1821年提出。後來，赫爾曼·施瓦茨也獨立發現了這一結果，因此這個不等式有時也被稱為柯西-施瓦茨不等式。

推導過程

考慮實數序列$\{a_{i}\}$和$\{b_{i}\}$，構造一個關於實數$t$的二次函數： $f(t)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}t+b_{i})^{2}$ 顯然，對於所有的$t$，有$f(t)\geq 0$。展開並重新組合，可以得到關於$t$的二次方程。因為這個方程的判別式必須小於或等於0，所以可以推導出柯西不等式。

應用場景

柯西不等式在物理學中描述能量和功的關係，在統計學中用於相關係數的計算，在機器學習的支持向量機算法中也有重要應用。此外，它也是許多數學證明的基礎工具。