代数学（algebra）是数学的一个主要分支，主要研究符号和规则，用以表示和操作数字、变量及数学表达式。这个领域起源于古代，经历了漫长的发展过程，从最初的简单算术操作逐步演变为现代数学中一个高度抽象和系统化的学科。
早期历史
大约在6000年前，人类开始使用各种记数方法，例如古埃及的象形数字、古巴比伦的楔形数字和中国的甲骨文数字，这些方法逐渐形成了较为成熟的记数系统，发展了自然数以及正有理数的基本四则运算（加、减、乘、除）。
在中国，先秦至西汉时期编纂的《九章算术》一书中，已经讨论了线性方程组的解法，并首次提出了负数的概念及其运算法则。这些早期的数学成就为代数学的发展奠定了基础。
代数学的起源
代数学这一名称首次出现在公元820年左右，由阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi）在其著作《还原与对消的科学》（al-jabr wa'l-muqabala）中提出。他的研究包括线性方程和二次方程的一般解法，这本书被翻译成拉丁文，并在欧洲广泛传播，成为标准的数学教材。
发展与突破
16世纪文艺复兴时期，意大利数学家们如费罗、塔尔塔利亚、卡尔达诺和费拉里等给出了三次和四次方程的求解公式。与此同时，法国数学家韦达引入了系统化的数学符号体系，使代数学有可能成为一门独立的学科。
代数的发展在17世纪继续推进，笛卡尔和费马建立了解析几何，将代数学与几何学紧密联系起来。
代数结构的研究
到18世纪，瑞士数学家克拉默发展了行列式的运算法则，随后，英国数学家西尔维斯特和凯莱进一步推动了矩阵论的发展。这些研究逐渐将代数学从解方程的学问转变为研究代数结构及其性质的学科。
现代代数学的形成
19世纪初，阿贝尔证明了五次以上代数方程无一般根式解，伽罗瓦则通过研究方程的根的置换群，确立了群的概念，标志着代数学从具体问题的求解走向了抽象结构的研究。
19世纪末至20世纪初，代数学朝着公理化和抽象化的方向发展，德国数学家希尔伯特、施泰尼茨、阿廷和诺特等人对代数学的公理化作出了重要贡献。1930年，荷兰数学家范德瓦尔登出版的《近世代数学》成为代数领域的重要教科书。
现代代数学的应用
现代代数学研究集合上的代数运算，将同构的代数系统视为同一类系统，广泛应用于群论、环论、域论等领域，并与其他数学分支如代数数论、代数拓扑、微分代数、李群与李代数等紧密结合。这些研究不仅推动了数学的抽象化，还在泛函分析、微分方程、几何等领域产生了深远影响。
代数学已经成为数学中的核心领域之一，它的思想和方法渗透到数学的各个分支中，成为现代数学发展的重要基础。