行列式

行列式是线性代数中一个非常重要的概念，主要与方阵（即行数与列数相同的矩阵）相关联。行列式不仅在理论上有深远的影响，还在解线性方程组、特征值问题和许多数学、物理问题中起着关键作用。

行列式的定义和符号表示

设$F$是一个域或带有单位元的交换环（例如实数域 $\mathbb {R}$ 或复数域 $\mathbb {C}$），考虑一个 $n$ 阶方阵 $A$，其形式为：

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

行列式 $D$ 是由矩阵 $A$ 的元素通过特定的运算规则计算得出的一个值，记作 $\det(A)$ 或 $|A|$。

行列式的公式表示

行列式的值由以下公式给出：

$D=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )\cdot a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \cdots \cdot a_{n\sigma (n)}$

其中：

• $S_{n}$ 表示从 $1$ 到 $n$ 的自然数的所有排列的集合。
• $\sigma$ 是一个排列，表示一种元素的位置交换。
• ${\text{sgn}}(\sigma )$ 是排列 $\sigma$ 的符号，当 $\sigma$ 是偶排列时 ${\text{sgn}}(\sigma )=1$，当 $\sigma$ 是奇排列时 ${\text{sgn}}(\sigma )=-1$。

具体来说，这个公式的意思是：对于每一个可能的排列 $\sigma$，我们取矩阵元素 $a_{1\sigma (1)}$、$a_{2\sigma (2)}$……$a_{n\sigma (n)}$ 的乘积，并根据排列的奇偶性乘以 ${\text{sgn}}(\sigma )$ 的值，最后将所有排列的结果相加，得到行列式的值。

行列式的形式和运算方法

二阶行列式

对于一个 $2\times 2$ 矩阵 $A$：

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$

行列式的计算公式为：

$\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

三阶行列式

对于一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$：

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$

行列式的计算公式为：

$\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

这个公式可以通过展开矩阵的第一行（或任何一行/列）来计算。

高阶行列式

对于更高阶的矩阵，行列式的计算变得更加复杂。一般来说，计算高阶行列式的方法有：

• 按行或列展开：选择某一行或列，将行列式展开为多个低阶行列式的加权和。
• 行列式的性质：利用行列式的性质（如三角矩阵的行列式为对角线上元素的乘积）来简化计算。

递归定义

行列式的递归定义基于“拉普拉斯展开”（也称为余子式展开）。假设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵，选择 $A$ 的任意一行（如第 $i$ 行），则行列式可以展开为：

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})$

其中 $A_{ij}$ 是从 $A$ 中删除第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶矩阵。这种递归定义允许我们通过求解低阶行列式来计算高阶行列式。

行列式的性质

行列式还具有许多重要的性质，例如：

1. 行列交换：交换矩阵的两行或两列，行列式的值会变号。
2. 线性性质：行列式对矩阵的一行或一列是线性的。
3. 行列式的乘积性质：两个矩阵相乘的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积，即 $\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$。

行列式的这些性质使得它在许多数学问题中非常有用。