行列式

行列式是線性代數中一個非常重要的概念，主要與方陣（即行數與列數相同的矩陣）相關聯。行列式不僅在理論上有深遠的影響，還在解線性方程組、特徵值問題和許多數學、物理問題中起着關鍵作用。

行列式的定義和符號表示

設$F$是一個域或帶有單位元的交換環（例如實數域 $\mathbb {R}$ 或複數域 $\mathbb {C}$），考慮一個 $n$ 階方陣 $A$，其形式為：

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

行列式 $D$ 是由矩陣 $A$ 的元素通過特定的運算規則計算得出的一個值，記作 $\det(A)$ 或 $|A|$。

行列式的公式表示

行列式的值由以下公式給出：

$D=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )\cdot a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \cdots \cdot a_{n\sigma (n)}$

其中：

• $S_{n}$ 表示從 $1$ 到 $n$ 的自然數的所有排列的集合。
• $\sigma$ 是一個排列，表示一種元素的位置交換。
• ${\text{sgn}}(\sigma )$ 是排列 $\sigma$ 的符號，當 $\sigma$ 是偶排列時 ${\text{sgn}}(\sigma )=1$，當 $\sigma$ 是奇排列時 ${\text{sgn}}(\sigma )=-1$。

具體來說，這個公式的意思是：對於每一個可能的排列 $\sigma$，我們取矩陣元素 $a_{1\sigma (1)}$、$a_{2\sigma (2)}$……$a_{n\sigma (n)}$ 的乘積，並根據排列的奇偶性乘以 ${\text{sgn}}(\sigma )$ 的值，最後將所有排列的結果相加，得到行列式的值。

行列式的形式和運算方法

二階行列式

對於一個 $2\times 2$ 矩陣 $A$：

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$

行列式的計算公式為：

$\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

三階行列式

對於一個 $3\times 3$ 矩陣 $A$：

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$

行列式的計算公式為：

$\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

這個公式可以通過展開矩陣的第一行（或任何一行/列）來計算。

高階行列式

對於更高階的矩陣，行列式的計算變得更加複雜。一般來說，計算高階行列式的方法有：

• 按行或列展開：選擇某一行或列，將行列式展開為多個低階行列式的加權和。
• 行列式的性質：利用行列式的性質（如三角矩陣的行列式為對角線上元素的乘積）來簡化計算。

遞歸定義

行列式的遞歸定義基於「拉普拉斯展開」（也稱為餘子式展開）。假設 $A$ 是一個 $n$ 階矩陣，選擇 $A$ 的任意一行（如第 $i$ 行），則行列式可以展開為：

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})$

其中 $A_{ij}$ 是從 $A$ 中刪除第 $i$ 行和第 $j$ 列後得到的 $(n-1)$ 階矩陣。這種遞歸定義允許我們通過求解低階行列式來計算高階行列式。

行列式的性質

行列式還具有許多重要的性質，例如：

1. 行列交換：交換矩陣的兩行或兩列，行列式的值會變號。
2. 線性性質：行列式對矩陣的一行或一列是線性的。
3. 行列式的乘積性質：兩個矩陣相乘的行列式等於這兩個矩陣行列式的乘積，即 $\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$。

行列式的這些性質使得它在許多數學問題中非常有用。