代數學（algebra）是數學的一個主要分支，主要研究符號和規則，用以表示和操作數字、變量及數學表達式。這個領域起源於古代，經歷了漫長的發展過程，從最初的簡單算術操作逐步演變為現代數學中一個高度抽象和系統化的學科。
早期歷史
大約在6000年前，人類開始使用各種記數方法，例如古埃及的象形數字、古巴比倫的楔形數字和中國的甲骨文數字，這些方法逐漸形成了較為成熟的記數系統，發展了自然數以及正有理數的基本四則運算（加、減、乘、除）。
在中國，先秦至西漢時期編纂的《九章算術》一書中，已經討論了線性方程組的解法，並首次提出了負數的概念及其運算法則。這些早期的數學成就為代數學的發展奠定了基礎。
代數學的起源
代數學這一名稱首次出現在公元820年左右，由阿拉伯數學家花拉子米（Al-Khwarizmi）在其著作《還原與對消的科學》（al-jabr wa'l-muqabala）中提出。他的研究包括線性方程和二次方程的一般解法，這本書被翻譯成拉丁文，並在歐洲廣泛傳播，成為標準的數學教材。
發展與突破
16世紀文藝復興時期，義大利數學家們如費羅、塔爾塔利亞、卡爾達諾和費拉里等給出了三次和四次方程的求解公式。與此同時，法國數學家韋達引入了系統化的數學符號體系，使代數學有可能成為一門獨立的學科。
代數的發展在17世紀繼續推進，笛卡爾和費馬建立了解析幾何，將代數學與幾何學緊密聯繫起來。
代數結構的研究
到18世紀，瑞士數學家克拉默發展了行列式的運算法則，隨後，英國數學家西爾維斯特和凱萊進一步推動了矩陣論的發展。這些研究逐漸將代數學從解方程的學問轉變為研究代數結構及其性質的學科。
現代代數學的形成
19世紀初，阿貝爾證明了五次以上代數方程無一般根式解，伽羅瓦則通過研究方程的根的置換群，確立了群的概念，標誌著代數學從具體問題的求解走向了抽象結構的研究。
19世紀末至20世紀初，代數學朝著公理化和抽象化的方向發展，德國數學家希爾伯特、施泰尼茨、阿廷和諾特等人對代數學的公理化作出了重要貢獻。1930年，荷蘭數學家范德瓦爾登出版的《近世代數學》成為代數領域的重要教科書。
現代代數學的應用
現代代數學研究集合上的代數運算，將同構的代數系統視為同一類系統，廣泛應用於群論、環論、域論等領域，並與其他數學分支如代數數論、代數拓撲、微分代數、李群與李代數等緊密結合。這些研究不僅推動了數學的抽象化，還在泛函分析、微分方程、幾何等領域產生了深遠影響。
代數學已經成為數學中的核心領域之一，它的思想和方法滲透到數學的各個分支中，成為現代數學發展的重要基礎。