線性代數是一門源於解線性方程組的數學學科，它的歷史可以追溯到中國古代的《九章算術》，這本書中就已經討論了線性方程組的解法。隨著對線性方程組的深入研究，以及行列式和矩陣的產生，再加上物理學、數學分析與幾何學的需求，線性代數逐漸發展成為一個獨立而重要的數學領域。
線性代數的發展
19世紀中葉，許多代數學家致力於推廣複數的概念，其中，英國數學家威廉·羅恩·哈密頓（W. R. Hamilton）發現了四元數。這一發現是繼伽羅瓦提出群論之後19世紀代數學最重要的進展之一。哈密頓通過研究複數對，為其定義了加法和乘法。他發現，雖然四元數的乘法具有結合性，但並不遵循交換律，這揭示了代數結構的多樣性。
向量與代數結構
在物理學中，向量的概念由來已久，向量相加的平行四邊形法則也為人們所熟知。然而，如何用代數的方法研究向量，而不依賴於圖形表示，是數學家們面臨的一個挑戰。哈密頓的四元數發現啟發了數學家們思考：是否可以捨棄一些傳統的算律，構造出更多的代數結構？
德國數學家格拉斯曼（H. G. Grassmann）進一步提出了有多個分量的超複數，並為其定義了加法，而乘法則使用內積和外積來代替。然而，由於他的文章過於晦澀，在很長一段時間內並未受到廣泛關注。
向量分析的進展
英國數學物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（J. C. Maxwell）在物理學中完成了從四元數到向量的過渡。他將四元數分解為數量部分和向量部分，並創建了大量的向量分析方法，這些方法在物理學中得到了廣泛應用。
現代線性代數的形成
從19世紀末到20世紀初，線性代數逐漸在全球範圍內得到普及，有關這一領域的教科書迅速出現，並逐步走向標準化。線性代數如今已成為大學中的一門基礎課程，涵蓋了包括矩陣、行列式、線性方程組、向量空間、線性變換、內積空間和二次型等一系列重要內容。
線性代數不僅在純數學中占有重要地位，而且在工程、物理學、計算機科學、經濟學等領域都有廣泛的應用。通過對這些基本概念和結構的理解，學生能夠在解決實際問題時應用線性代數的方法和工具。