范德蒙德行列式

范德蒙德行列式

范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）是線性代數和多項式插值中極為重要的概念之一。該行列式的名稱來源於法國數學家亞歷山大-特奧菲勒·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde），他在十八世紀提出並推廣了行列式的專有符號，並將其應用於解線性方程組。范德蒙德行列式與范德蒙德矩陣密切相關，這種行列式具有特殊的代數結構，使其在多項式理論和數值分析中佔有重要地位。

范德蒙德矩陣的形式如下：

$A_{n}={\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{bmatrix}}$

其中，$A_{n}$ 是一個 $n\times n$ 階矩陣，矩陣元素為 $a_{ij}=x_{i}^{j-1}$。

推導范德蒙德行列式的公式，可以從2階行列式開始：

$\det A_{2}={\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1}$

對3階行列式進行化簡，利用基本列運算和余因子展開法，可以得到：

${\begin{aligned}\det A_{3}&={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\0&x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\\0&x_{3}-x_{1}&x_{3}^{2}-x_{1}^{2}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\\x_{3}-x_{1}&x_{3}^{2}-x_{1}^{2}\end{vmatrix}}\\&=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1})\end{aligned}}$

我們可以由此猜測 $n\times n$ 階范德蒙德行列式的公式為：

$\det A_{n}=\prod _{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})$

通過數學歸納法可以證明這個猜測是正確的。范德蒙德行列式的結果表明，其值為矩陣中每對不同列中的差值之積。

范德蒙德行列式廣泛應用於數值分析中的插值問題中。例如，給定 $n$ 個數據點 $(x_{i},y_{i})$，可以求得滿足這些點的多項式插值函數，范德蒙德矩陣的逆矩陣可以用於求解該多項式的係數。由於范德蒙德行列式不為零（當所有 $x_{i}$ 值不同），因此范德蒙德矩陣是可逆的，從而保證了插值問題的唯一性解。