二次函数模型

二次函数模型用 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）描述输入与输出的关系。它的图像是抛物线，可以表现先增后减、先减后增，以及相同输入增量带来越来越大或越来越小的输出增量。建模时，二次式既要有来源，也要有适用范围；图像的顶点是否是可选方案，取决于具体条件。

同样长的围栏，怎样围出更大的面积

设有28米围栏，要在平地围出一个长方形，四边都用围栏，忽略门宽、立柱占用与材料厚度。以连续长度建模，不要求边长为整数。这是一个合成设计问题：哪一组边长使面积最大？

令一边长为 $x$ 米，另一边长为 $y$ 米。先写围栏条件： $2 x + 2 y = 28.$ 两边除以2，再减去 $x$ ，得到 $y = 14 - x$ 。因此，选定一条边就同时确定另一条边；加长 $x$ 会缩短 $y$ ，两者不能各自独立地随意增加。面积数值为 $A (x) = x y = x (14 - x) = 14 x - x^{2} .$ 这里 $x$ 使用米， $A$ 使用平方米。真正的非退化长方形要求 $0 < x < 14$ ；为看清两端行为，也可以把 $x = 0, 14$ 的退化情形记为面积零，计算上扩展到 $[0, 14]$ 。

四边围栏长方形相邻边为x和十四减x；两种具体形状为四乘十与七乘七，周长都二十八而面积分别四十和四十九 — 同样的围栏长度不意味着同样的面积；改变一边时，另一边按照同一约束改变。

图中 $4 \times 10$ 的长方形用去 $2 (4 + 10) = 28$ 米围栏，面积40平方米； $7 \times 7$ 用去的围栏相同，面积49平方米。图帮助找到候选，但“所有允许的边长都不会更好”还需要证明。

数表中的增长为什么越来越慢

先每次把 $x$ 增加1米，另一边相应减少1米：

$x$ （米）	$14 - x$ （米）	面积（平方米）	相比上一行的面积变化（平方米）
3	11	33	—
4	10	40	7
5	9	45	5
6	8	48	3
7	7	49	1
8	6	48	−1
9	5	45	−3

面积的增量不固定，因此不能用一条直线覆盖这些值；相邻增量却每次减少2。由公式也能解释这一现象： $A (x + 1) - A (x) = 14 (x + 1) - (x + 1)^{2} - (14 x - x^{2}) = 13 - 2 x .$ 当 $x$ 增加1，右侧就减少2。这个“一次差不恒定，二次差恒定”的特征提示二次关系。对一般二次函数，若输入步长固定为 $h$ ，则 $f (x + h) - f (x) = 2 a h x + a h^{2} + b h .$ 再前进一步，两个相邻差相减后只剩 $2 a h^{2}$ 。步长不同时应先考虑变化率，不能直接比较未归一化的增量。若数据是带误差的测量，几个二次差相近也只是模型线索；本例的精确二次式来自面积与周长约束。

配成平方，证明49是最大面积

数表只检查了有限几个整数。为了覆盖所有允许的实数长度，把二次式改写为一个常数减去平方。观察 $(x - 7)^{2} = x^{2} - 14 x + 49$ ，有 $A (x) = 14 x - x^{2} = 49 - (x^{2} - 14 x + 49) = 49 - (x - 7)^{2} .$ 任意实数的平方都不小于零，因此 $A (x) \leq 49$ 。只有 $x - 7 = 0$ 才能取等号，即 $x = 7$ 、 $y = 7$ 。这个方案符合 $0 < x < 14$ ，所以最大面积确实能取得，为49平方米。

这一步称为配方：给二次式补出完整平方，同时补偿加入的常数，使等式始终成立。OpenStax《College Algebra 2e》§2.5 它既求出答案，也直接说明偏离最佳边长的代价。若 $x = 7 + d$ ，另一边就是 $7 - d$ ，于是 $A = 49 - d^{2}$ 。例如长宽变成9米与5米， $d = 2$ ，面积便损失4平方米。

面积曲线十四x减x平方关于x等于七对称，顶点七四十九；水平面积四十与曲线交于x四和十，两端零和十四处面积为零 — 顶点给最大面积；同一高度的左右交点表示交换长宽后面积相同。

图中的竖虚线 $x = 7$ 是对称轴。左右距它同样远的 $7 - d$ 、 $7 + d$ ，平方项相同，故面积相同。这里对称性与最大值都由配方式推出，不依赖图是否画得足够精细。

给定面积目标，边长有哪些选择

如果目标不是最大，而是恰好围出40平方米，可以利用已经得到的平方形式： $49 - (x - 7)^{2} = 40 ⟺ (x - 7)^{2} = 9.$ 平方为9的数有3和−3，所以 $x - 7 = 3$ 或 $x - 7 = - 3$ ，得到 $x = 10$ 或 $x = 4$ 。两者都在允许范围内，对应同一个 $4 \times 10$ 长方形的两种边名。

若要求面积至少40平方米，则 $49 - (x - 7)^{2} \geq 40 ⟺ (x - 7)^{2} \leq 9 ⟺ 4 \leq x \leq 10.$ 因此4米至10米的边长都满足目标。在图中，这就是曲线位于水平线40上方的横坐标范围。目标改为50平方米时，没有可行解，因为配方已经证明所有面积都不超过49。

一般二次函数的顶点从哪里来

对 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，首先有 $a \neq 0$ ，才能提取 $a$ 并除以它： $f (x) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c .$ 要把括号配成平方，取一次项系数的一半 $b / (2 a)$ 。加入它的平方后再减去，得到 $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a} .$ 记 $h = - b / (2 a)$ 、 $k = c - b^{2} / (4 a)$ ，便有顶点式 $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ 。在全体实数上， $a > 0$ 时最小值为 $k$ ， $a < 0$ 时最大值为 $k$ ，均在 $x = h$ 取得；图像关于 $x = h$ 对称。OpenStax，§5.1

围栏式中 $a = - 1, b = 14, c = 0$ ，因此 $h = 7, k = 49$ ，与直接配方一致。若 $a = 0$ ，表达式已经退化为一次式或常数式，顶点公式里的除法不再允许。

应用问题还有一个额外步骤：检查 $h$ 是否可行。例如同样的28米围栏，但场地要求这一方向的边长 $0 < x \leq 5$ ， $x = 7$ 就不能使用。在这个区间内， $| x - 7 |$ 随 $x$ 增加而减小，故 $49 - (x - 7)^{2}$ 在 $x = 5$ 最大，面积45平方米。找出抛物线顶点并不免除约束检查。

如果边长只能取整数，配方仍说明应在允许整数中找距离 $h$ 最近的值。例如周长改为30米， $A = x (15 - x) = 56.25 - (x - 7.5)^{2}$ ，整数7与8距离顶点都为0.5，所以最大整数面积都是56平方米，而非56.25。

改变一条条件，原来的正方形结论还成立吗

问题。仍有28米围栏，但一边贴着足够长的直墙，只需围另外三边。设垂直于墙的两条边各为 $x$ 米，平行于墙的那条边为 $y$ 米。求最大面积。

先独立列出用料关系：这里用围栏的是两条 $x$ 边和一条 $y$ 边，不再是四边。

解答。约束为 $2 x + y = 28$ ，所以 $y = 28 - 2 x$ ，允许 $0 < x < 14$ 。面积为 $A_{w a l l} (x) = x (28 - 2 x) = 28 x - 2 x^{2} = 98 - 2 (x - 7)^{2} .$ 最大值在 $x = 7$ 取得，此时 $y = 14$ ，面积98平方米。代回用料式核对： $2 \times 7 + 14 = 28$ 。最佳形状不是正方形。

上图四边用围栏的最优形状为七乘七、面积四十九；下图利用已有墙边的最优形状为七乘十四、面积九十八，均只使用二十八米新增围栏 — 金色虚线表示已有墙，不计入围栏用量；两幅图的尺寸使用同一比例。

图中墙边不消耗围栏，正是两套面积式不同的原因。相同材料总量并不足以保证相同最优形状；结论依赖哪些边需要材料。进一步加入成本、售价或容量限制，就会得到成本收益与利润中的二次收益模型，但仍需重新列出当前约束。

参考资料

Jay Abramson 等，College Algebra 2e，§5.1 Quadratic Functions：二次函数、对称轴、顶点及最优化。
同书 §2.5 Quadratic Equations：配方、平方根性质与二次方程求解。