线性代数是一门源于解线性方程组的数学学科，它的历史可以追溯到中国古代的《九章算术》，这本书中就已经讨论了线性方程组的解法。随着对线性方程组的深入研究，以及行列式和矩阵的产生，再加上物理学、数学分析与几何学的需求，线性代数逐渐发展成为一个独立而重要的数学领域。
线性代数的发展
19世纪中叶，许多代数学家致力于推广复数的概念，其中，英国数学家威廉·罗恩·哈密顿（W. R. Hamilton）发现了四元数。这一发现是继伽罗瓦提出群论之后19世纪代数学最重要的进展之一。哈密顿通过研究复数对，为其定义了加法和乘法。他发现，虽然四元数的乘法具有结合性，但并不遵循交换律，这揭示了代数结构的多样性。
向量与代数结构
在物理学中，向量的概念由来已久，向量相加的平行四边形法则也为人们所熟知。然而，如何用代数的方法研究向量，而不依赖于图形表示，是数学家们面临的一个挑战。哈密顿的四元数发现启发了数学家们思考：是否可以舍弃一些传统的算律，构造出更多的代数结构？
德国数学家格拉斯曼（H. G. Grassmann）进一步提出了有多个分量的超复数，并为其定义了加法，而乘法则使用内积和外积来代替。然而，由于他的文章过于晦涩，在很长一段时间内并未受到广泛关注。
向量分析的进展
英国数学物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（J. C. Maxwell）在物理学中完成了从四元数到向量的过渡。他将四元数分解为数量部分和向量部分，并创建了大量的向量分析方法，这些方法在物理学中得到了广泛应用。
现代线性代数的形成
从19世纪末到20世纪初，线性代数逐渐在全球范围内得到普及，有关这一领域的教科书迅速出现，并逐步走向标准化。线性代数如今已成为大学中的一门基础课程，涵盖了包括矩阵、行列式、线性方程组、向量空间、线性变换、内积空间和二次型等一系列重要内容。
线性代数不仅在纯数学中占有重要地位，而且在工程、物理学、计算机科学、经济学等领域都有广泛的应用。通过对这些基本概念和结构的理解，学生能够在解决实际问题时应用线性代数的方法和工具。