行列式

行列式（determinant）给每个方阵对应一个数。对二维线性变换，它的绝对值是面积放大的倍数，正负号记录方向是否翻转；在三维是有向体积的倍数。行列式为零，表示某些原本不同的输入被压到一起，方阵不能逆转。

二阶行列式从两列向量看

设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$。它把水平单位向量送到第一列 $(a,c)$，把竖直单位向量送到第二列 $(b,d)$。原来的单位正方形因此变成由这两列张成的平行四边形。其有向面积定义为 $$detA=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc.$$ 例如 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 的两列为 $(2,1)$、$(1,2)$，行列式为 $2\cdot 2-1\cdot 1=3$。单位面积变成面积 3；图中的四边形顺着原来的绕行方向，故符号为正。

两列分别是原来两条单位边的去向；普通面积取行列式的绝对值。

如果交换两列，平行四边形的面积仍为 3，但绕行方向反过来，行列式变成 $-3$。若两列是 $(1,2)$ 与 $(2,4)$，它们共线，平行四边形压成一条线，行列式 $1\cdot 4-2\cdot 2=0$。这说明绝对值和符号承担不同信息。

三阶行列式的展开

对 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$，沿第一行展开：先分别删掉该元素所在的行与列，算剩下的二阶行列式，再按 $+,-,+$ 交替取号，得到 $$detA=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).$$ 例如 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$，三项分别是 $1(1-1)=0$、$-1(-1-1)=2$、$1(1+1)=2$，因此 $detA=4$。同一矩阵的第二、三行各减去第一行，成为对角线 $1,-2,-2$ 的上三角矩阵，也给 $1\cdot (-2)\cdot (-2)=4$。两种算法互相核对。

把三列看作从原点出发的空间向量，$detA$ 等于它们的混合积；绝对值是所张成平行六面体的体积。三列若共面，体积和行列式都为零。这个几何图景也解释了克拉默法则中用一列替换右端的做法。

用行变换计算

交换两行使行列式变号；一行乘以 $k$ 使行列式乘以 $k$；把一行的倍数加到另一行，行列式不变。前两条分别改变坐标方向和一个方向的尺度。第三条相当于剪切：平行四边形的底和高不变，面积也不变。

这些规则让较高阶行列式不必直接记一长串项。取 $$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right).$$ 用 $R_3\leftarrow R_3-2R_1$，第三行变成 $(0,-4,1)$；再用 $R_3\leftarrow R_3+4R_2$，得到上三角矩阵 $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 5\end{array}\right).$$ 两步只加减了其他行的倍数，行列式未改变。上三角矩阵的行列式是对角元素之积，因此 $detC=1\cdot 1\cdot 5=5$。直接沿第一行展开也给出 $1(1)-2(0-2)=5$，可作独立核对。

零与可逆的关系

二阶矩阵的候选逆矩阵可以直接写成 $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right),ad-bc\ne 0.$$ 把右边的分子矩阵分别左乘和右乘 $A$，非对角项抵消，两个对角项都成为 $ad-bc$，因此除以这个数后确实得到单位矩阵。若行列式为零，这个除法不能做；更根本的是列向量线性相关，变换会丢失输入方向，所以不可能有逆。

对 $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，逆为 $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$。用它乘 $(5,4{)}^{𝖳}$ 得 $(2,1{)}^{𝖳}$，再用原矩阵乘回去，确得 $(5,4{)}^{𝖳}$。

一般 $n$ 阶方阵也满足：$detA\ne 0$ 当且仅当 $A$ 的秩为 $n$，当且仅当每个 $Ax=b$ 都有唯一解。这里的联系是“是否丢失方向”；但把行列式当作求解大型方程组的日常算法，通常不如直接消元。

连续变换与特征值

先做变换 $B$，再做 $A$，面积或体积缩放倍数相乘，所以 $det(AB)=detAdetB$。反射的负号也参与相乘：两次反射使方向恢复。

如果非零向量 $v$ 满足 $Av=\lambda v$，那么 $(A-\lambda I)v=0$。要有这种非零解，矩阵 $A-\lambda I$ 必须不可逆，因而 $det(A-\lambda I)=0$。这就是特征值与特征向量的特征方程。它说明行列式也能用来寻找“只被拉伸、不改变所在直线”的方向。

参考资料

• MIT OpenCourseWare，18.06SC，Determinants 课程单元：行列式性质、余子式、逆与体积。
• MIT OpenCourseWare，18.06 课程大纲：行列式在消元与特征值之间的位置。
• 继续阅读：矩阵、矩阵的秩、特征值与特征向量。