范德蒙德行列式

范德蒙德行列式

范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）是线性代数和多项式插值中极为重要的概念之一。该行列式的名称来源于法国数学家亚历山大-特奥菲勒·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde），他在十八世纪提出并推广了行列式的专有符号，并将其应用于解线性方程组。范德蒙德行列式与范德蒙德矩阵密切相关，这种行列式具有特殊的代数结构，使其在多项式理论和数值分析中占有重要地位。

范德蒙德矩阵的形式如下：

$A_{n}={\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{bmatrix}}$

其中，$A_{n}$ 是一个 $n\times n$ 阶矩阵，矩阵元素为 $a_{ij}=x_{i}^{j-1}$。

推导范德蒙德行列式的公式，可以从2阶行列式开始：

$\det A_{2}={\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1}$

对3阶行列式进行化简，利用基本列运算和余因子展开法，可以得到：

${\begin{aligned}\det A_{3}&={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\0&x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\\0&x_{3}-x_{1}&x_{3}^{2}-x_{1}^{2}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\\x_{3}-x_{1}&x_{3}^{2}-x_{1}^{2}\end{vmatrix}}\\&=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1})\end{aligned}}$

我们可以由此猜测 $n\times n$ 阶范德蒙德行列式的公式为：

$\det A_{n}=\prod _{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})$

通过数学归纳法可以证明这个猜测是正确的。范德蒙德行列式的结果表明，其值为矩阵中每对不同列中的差值之积。

范德蒙德行列式广泛应用于数值分析中的插值问题中。例如，给定 $n$ 个数据点 $(x_{i},y_{i})$，可以求得满足这些点的多项式插值函数，范德蒙德矩阵的逆矩阵可以用于求解该多项式的系数。由于范德蒙德行列式不为零（当所有 $x_{i}$ 值不同），因此范德蒙德矩阵是可逆的，从而保证了插值问题的唯一性解。