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'''概率'''（probability）是对随机事件赋予数值的一套数学规则，用来描述在给定模型下事件发生的不确定性。事件的概率介于 0 与 1 之间。概率值来自对样本空间及其分布的建模，不能仅凭“可能发生”就认定各结果等可能。


== English overview ==
<div lang="en" class="math-english-summary">
Probability assigns numerical weights to events within an explicitly chosen model. A sample space describes possible outcomes, a collection of measurable events specifies which questions can be asked, and a probability measure satisfies non-negativity, normalization, and countable additivity. Equal likelihood is an additional assumption, not a consequence of listing a finite number of possibilities.

This article develops probability from dice and sampling examples before introducing conditional probability and independence. The distinction between mutually exclusive events and independent events is essential: two events of positive probability cannot have both properties. Conditional probability changes the reference population, whereas a random variable transforms outcomes into numerical observations. Continuous models assign probabilities to intervals through integration; a density value is not itself a probability. We derive the addition rule, the law of total probability, and a simple concentration bound to show how the axioms support calculation. Historical discussion separates seventeenth-century problems of fair division from the measure-theoretic formulation established in the twentieth century. Applications require checking whether the chosen outcomes, independence assumptions, and parameter values describe the actual process.
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== 样本空间、事件与三条公理 ==
样本空间 <math>\Omega</math> 是所有可能结果的集合，事件是其中可赋予概率的子集。在一般概率论中，这些事件组成一个 σ 代数；有限样本空间通常取全部子集作为事件。

概率函数 <math>P</math> 满足非负性、<math>P(\Omega)=1</math>，以及对两两互斥事件的可列可加性：
<math display="block">P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).</math>
由此可推出补事件公式 <math>P(A^c)=1-P(A)</math>，以及加法公式
<math display="block">P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).</math>
最后一项用于扣除重复计数的交集。

== 两枚骰子为什么有 36 种等可能结果 ==
假设两枚公平六面骰独立投掷，用有序对 <math>(i,j)</math> 记录结果。共有 <math>6\times6=36</math> 个等可能结果，而不是把和为 2 到 12 的 11 个数看成等可能。

[[File:Gezhi-probability-dice.svg|frame|center|alt=六乘六的骰子结果网格，反对角线的六个格子标出两数之和为七的结果|有序对等可能，但它们的和不等可能；和为 7 有 6 种结果，和为 2 只有一种。]]
和为 7 的结果为 <math>(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)</math>，故概率为 <math>6/36=1/6</math>。至少一枚为 6 的概率则为
<math display="block">\frac16+\frac16-\frac1{36}=\frac{11}{36}.</math>
减去的 <math>1/36</math> 是两枚都为 6 的情形。也可以取补事件：<math>1-(5/6)^2=11/36</math>。

== 条件概率：已知信息改变了范围 ==
当 <math>P(B)>0</math> 时，定义
<math display="block">P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.</math>
假设已知第一枚骰子为 6，此时两枚之和为 7 的概率是 <math>1/6</math>；如果已知至少一枚为 6，则剩余 11 个等可能结果中只有 <math>(1,6)</math>、<math>(6,1)</math> 的和为 7，概率变为 <math>2/11</math>。信息的措辞决定条件事件，不能省略。

== 独立与互斥是不同概念 ==
事件独立意味着 <math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>；互斥意味着 <math>A\cap B=\varnothing</math>。两个概率都为正的互斥事件不独立，因为其中一个发生就排除了另一个。

单枚骰子的“结果为偶数”与“结果为 6”并不独立；两枚独立骰子各自“为偶数”的事件则独立。独立性是模型条件，需要由过程或数据支持，不能把乘法当作默认规则。

== 概率、频率与概率为零 ==
重复独立且同分布的试验中，大数定律说明事件频率会以适当的概率意义接近其概率。它不保证短期结果均衡，也不意味着前面连续出现某结果后，下一次必须“补偿”。

连续分布还存在概率为零但并非空集的事件。例如在 <math>[0,1]</math> 均匀取数，恰好取到 <math>1/2</math> 的概率为零。连续模型使用区间概率与密度，不能把“每个点概率为零”理解为“没有任何值能出现”。

== 把一次随机试验描述完整 ==
“随机”并不是说事件没有原因，而是说当前描述没有把结果当作已经确定的已知量。建模的第一步是约定究竟记录什么。投两枚骰子可以记录有序点数、点数和，也可以只记录“是否相等”。这三种记录方式的信息量不同，不能把它们当成同一个样本空间再套用相同的均匀分布。

设原始结果为 <math>\omega=(i,j)</math>，定义随机变量 <math>S(\omega)=i+j</math>。和为 7 的事件就是 <math>\{\omega:S(\omega)=7\}</math>。从结果转为数值，是一个[[函数]]；这个函数通常把多个原始结果映射到同一个数。因此，原始结果等可能并不能推出函数值等可能。这一层区分也适用于“抽到哪件产品”和“抽到的产品是否合格”。

事件集合为什么还需要封闭性？如果能够询问 A 是否发生，也应能够询问 A 不发生、A 与 B 至少一个发生。σ 代数包含全集，对补集和可数并封闭，从而也对可数交封闭。在有限例子中直接取所有子集就足够；在连续空间中，这一限制保证积分和概率运算协调。入门阶段不必构造不可测集，但不能把一般概率论说成“对任意集合随便分配一个数”。

== 从公理推导加法公式 ==
先由 <math>\Omega=\Omega\cup\varnothing</math> 的不交并得到 <math>P(\varnothing)=0</math>。再把全集分成 A 与补集，便有 <math>P(A)+P(A^c)=1</math>。若 <math>A\subseteq B</math>，则 B 是 A 与 <math>B\setminus A</math> 的不交并，非负性给出 <math>P(A)\le P(B)</math>。所以概率具有单调性，不是额外记忆的一条经验规律。

对于可能重叠的 A、B，先拆成三个互斥区域：只属于 A、两者共同部分、只属于 B。把 <math>P(A)+P(B)</math> 展开，交集被算了两次；并集只应算一次，因而必须减去一个交集概率。这一推导说明公式为什么成立，也指出“直接相加”只适用于交集概率为零的情形。互斥当然能保证这一点，但连续模型中交集非空却概率为零也可能出现。

更一般地，将样本空间分割为有限个互斥事件 <math>B_1,\ldots,B_m</math>，且每个 <math>P(B_i)>0</math>，则
<math display="block">P(A)=\sum_{i=1}^mP(A\cap B_i)=\sum_{i=1}^mP(A\mid B_i)P(B_i).</math>
第一步使用事件分割，第二步使用条件概率定义。这就是全概率公式，其实质是按来源分组加权；不能把组内概率直接做无权平均。相关定义与推导可参见 [https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/resources/mit18_05_s22_class03-prep_pdf/ MIT 18.05 第 3 讲]。

== 不放回抽样怎样改变第二步 ==
袋中有 3 个红球、2 个蓝球，球除颜色外可区分且每次从剩余球中等可能抽取。连续抽两球且不放回。第一球为红的概率是 <math>3/5</math>；已知第一球红，第二球红的概率是 <math>2/4</math>，故两球都红的概率为 <math>(3/5)(2/4)=3/10</math>。这里的乘法用的是条件概率，绝不是假设两次抽取独立。

恰好一个红球有两条互斥路径：先红后蓝与先蓝后红。因此其概率为 <math>(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5</math>。两球都蓝的概率为 <math>(2/5)(1/4)=1/10</math>。三类结果之和为 1，这是检查计算的一种方式。也可以用无序组合验证：红蓝组合有 <math>3\times2=6</math> 个，所有两球组合有 <math>\binom52=10</math> 个，答案仍为 <math>6/10</math>。

若改成每次抽完放回，第二次红球的比例保持 <math>3/5</math>，两红概率变为 <math>9/25</math>。只改变“放回”这一条规则，答案就不同。一个概率问题缺少抽样协议时，往往不是计算困难，而是尚未定义唯一的问题。

== 密度的高度与区间的概率 ==
在区间 <math>[0,2]</math> 上均匀取一个实数 X，密度为 <math>f(x)=1/2</math>，区间外为零。于是 <math>P(0.5\le X\le1.5)=\int_{0.5}^{1.5}(1/2)\,dx=1/2</math>。区间越短，概率越小；单点的积分为零，但 X 总要取区间中的某个值。可列可加性只允许可数个互斥事件直接求和，不能把不可数多个零概率单点像有限求和一样合并。

密度甚至可以大于 1。例如在 <math>[0,0.1]</math> 均匀分布时，密度为 10，总面积仍为 1。若 X 带时间单位，密度就具有时间单位的倒数，而区间概率没有单位。把密度值误当概率，不仅数值会出错，量纲也对不上。

随机变量的分布函数 <math>F(x)=P(X\le x)</math> 同时适用于离散、连续和混合情形。它非递减，取值在 0 与 1 之间，且在正无穷趋于 1、负无穷趋于 0。离散分布中跳跃的大小等于该点概率；有密度的分布则通过积分积累概率。由此可见，“随机变量必须有概率密度”不是正确命题。

== 大数定律究竟保证什么 ==
设 <math>X_1,\ldots,X_n</math> 为独立同分布的 0–1 指示变量，成功概率为 p。频率为 <math>\bar X_n=n^{-1}\sum_iX_i</math>。由[[期望]]的线性性及独立性给出的方差可加性，得到 <math>\mathbb E[\bar X_n]=p</math>、<math>\operatorname{Var}(\bar X_n)=p(1-p)/n</math>。

对任意 <math>\varepsilon>0</math>，在事件 <math>|\bar X_n-p|\ge\varepsilon</math> 上，平方偏差至少为 <math>\varepsilon^2</math>。将该事件内外分开取期望，就得到
<math display="block">P(|\bar X_n-p|\ge\varepsilon)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\le\frac1{4n\varepsilon^2}.</math>
右端随 n 增大而趋于零，这给出了一个弱大数定律的直接证明，也给出了可核验但通常偏保守的误差界。它并不声称每条样本路径的误差逐步减小；也不声称出现连续五次失败后，第六次成功概率会被“补回来”。独立试验没有这种记账机制。

== 两两独立为什么还不够 ==
对于三个或更多事件，逐对检查独立并不足以得到整体独立。考虑两枚独立公平硬币，四个有序结果等可能。令 <math>A</math> 为第一枚正面，<math>B</math> 为第二枚正面，<math>C</math> 为两枚相同。三个事件概率均为 <math>1/2</math>；任意一对的交集都只有一个结果，概率为 <math>1/4</math>，所以它们两两独立。

但是三者同时发生只能是两枚都正面，概率仍为 <math>1/4</math>，并不等于 <math>(1/2)^3=1/8</math>。事实上，知道前两个事件是否发生，就完全确定了第三个事件。相互独立要求每一个有限子组的交集概率都等于该组各概率的乘积，不能仅检验所有二元关系。这也是为什么多次试验的独立假设需要针对完整生成机制，而不是只观察两列数据似乎没有关系。

相关性为零又是另一个层次的概念，涉及随机变量的协方差；它通常比独立性更弱。对称分布的变量与它的平方可以有零协方差，却存在明确的函数关系。独立、无相关和互斥各自有定义，不能只凭“不影响”“没关系”等日常措辞互换。

== 很多小机会合在一起，可以不再小 ==
对任意有限个事件，反复使用加法公式并去掉非负的交集项，可得并集上界
<math display="block">P\left(\bigcup_{i=1}^m A_i\right)\le\sum_{i=1}^mP(A_i).</math>
它不需要独立性，因而常用于给“至少出现一次异常”作保守估计。但右端可能超过 1，也可能明显高估；概率上界不是精确答案。事件之间高度重叠时，重复累计尤其明显。

生日问题展示了比较次数的作用。采用纯教学模型：一年固定365天，各人的生日彼此独立且均匀，不讨论闰日和实际季节差异。23人的生日全部不同的概率为
<math display="block">\prod_{j=0}^{22}\frac{365-j}{365},</math>
因为依次选人，第一个没有限制，第二个需要避开已有一天，第三个需避开已有两天，依此类推。取补事件后，至少一对生日相同的概率约为0.5073。这里没有要求每一对相同事件相互独立；直接把各对“不相同”的概率相乘会使用不成立的独立性。

23人之间有253对，远不只是23次机会。并集上界给出 <math>253/365\approx0.6932</math>，虽然不精确，却已提示总体事件不能按单对的 <math>1/365</math> 理解。这个例子所揭示的是模型内的组合效应，不能当成真实人口生日分布的精确统计结论。

== 概率界与样本保证如何区别 ==
前文的频率误差界可以转为有限样本的设计要求。若希望独立同分布的0–1试验中，频率偏离真实概率至少0.05的机会不超过0.01，使用不依赖未知成功率的保守上界，取 <math>n\ge10000</math> 即可。因为 <math>1/(4n\times0.05^2)\le0.01</math>。这给出一个足够样本量，而非最小或最有效样本量。

该结论仍是概率性的：它允许小概率出现超过容限的误差，不能改写成“做满一万次就绝不偏差超过5%”。如果试验有共同环境导致的相关性，原方差计算还可能不再适用；如果抽样只覆盖某个偏离目标总体的群体，增加样本量可能只是更稳定地估计错误总体的概率。

概率模型与[[统计推断]]的分工也由此清楚：前者通常在已指定分布下求事件概率，后者还要用样本研究未知分布或参数，并说明不确定性。一个数值看起来精确，并不代表抽样与模型假设也被精确满足。

条件信息的取得方式也是抽样协议的一部分。“随机选出的家庭有一个女孩”与“随机选一个孩子，发现她是女孩，再看其家庭”未必对应同一个条件事件。后一种程序更容易选中包含更多女孩的家庭，形成由抽取机会带来的权重。若只保留一句模糊的口头信息而省略选择过程，不同的合理模型可能产生不同答案。

同样，检测结果只有在某类产品上被记录、缺失数据与结果本身有关、或人们只上报异常值，都可能改变所看到的样本分布。这不要求放弃概率计算，而是要求把记录和筛选机制也放进样本空间。判断一个答案是否合理，应同时检查事件定义、采样流程和算术，而不是只比较最后的分数。

== 从分赌注问题到现代概率空间 ==
概率思想没有一个脱离背景的单一发现时刻。17 世纪关于赌博公平分配的讨论推动了有限概率计算，1654 年 Pascal 与 Fermat 的通信是经常引用的节点；Huygens 在 1657 年出版概率论著，把机会与公平价值联系起来。这些事实可查 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/p/ MacTutor 的概率术语史] 与 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Huygens/ Huygens 传记]。更早的赌博实践不等于已经建立现代公理体系。

1933 年 Kolmogorov 的专著把概率置于测度论的公理框架之中，统一了离散和连续模型所需的基本语言，见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kolmogorov/ Kolmogorov 传记]。这不意味着后来的一切随机理论都已完成，也不意味着公理本身决定了一个现实系统该赋什么概率；公理控制推理的一致性，具体分布仍需模型假设与证据。

== 编者评注（AI 辅助） ==
本条把“记录对象”和“抽样协议”放在公式前，是因为许多概率错误实际发生在模型建立阶段。建议先列出一个小规模样本空间，再检查哪些结果确实等可能，最后才计算。条件概率也应先说清信息如何获得。同一个数值答案若来自不合理的独立性或等可能假设，并不会因算术正确而成为可靠结论。

== 参考来源与延伸阅读 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/resources/mit18_05_s22_class03-prep_pdf/ Jeremy Orloff、Jennifer French Kamrin，MIT 18.05：Conditional Probability, Independence and Bayes' Theorem]。
* [[集合]] · [[函数]] · [[统计推断]]：样本空间的语言、随机变量与由样本反推总体。
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/pages/classes-reading-and-in-class-materials/ MIT OpenCourseWare，18.05 阅读材料]：样本空间、条件概率与独立性。
* [[组合数学]] · [[期望]] · [[贝叶斯定理]]
[[分类:概率与统计]]