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欧拉公式将复指数函数与三角函数联系起来，让代数、几何与分析在同一个等式中相遇。

{{定理|名称=欧拉公式|内容=<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>|说明=对任意实数 <math>\theta</math> 成立，其中 <math>i^2=-1</math>。}}

== 几何意义 ==
<div class="math-unit-circle" role="img" aria-label="复平面上的单位圆，点的坐标为余弦θ与正弦θ"></div>
在复平面上，复数 <math>e^{i\theta}</math> 表示单位圆上的一个点：它的实部是 <math>\cos\theta</math>，虚部是 <math>\sin\theta</math>，模长为 1。

因此，乘以 <math>e^{i\theta}</math> 可以理解为绕原点逆时针旋转角度 <math>\theta</math>。指数的乘法法则恰好对应旋转角度的相加：

<math display="block">e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.</math>

这里的角度以弧度表示。随着角度变化，点在单位圆上连续运动；角度增加 <math>2\pi</math> 时，它回到原来的位置。
<div style="clear:both"></div>

== 一个简短的证明 ==
利用指数函数、正弦和余弦在原点的幂级数展开，可以直接看出三者的联系。对任意复数 <math>z</math>，指数函数可以用绝对收敛的级数定义：

<math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>

令 <math>z=i\theta</math>，把偶数次项与奇数次项分开。由于 <math>i^{2k}=(-1)^k</math>、<math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到

<div class="math-proof">
<math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>

右边两个级数分别是 <math>\cos\theta</math> 和 <math>\sin\theta</math> 的幂级数，所以欧拉公式成立。
<div class="math-proof-end">□</div>
</div>

== 特殊情形 ==
当 <math>\theta=\pi</math> 时，<math>\cos\pi=-1</math> 且 <math>\sin\pi=0</math>，于是得到欧拉恒等式：

<math display="block">e^{i\pi}+1=0.</math>

当 <math>\theta=\pi/2</math> 时，<math>e^{i\pi/2}=i</math>，对应把正实轴上的单位向量旋转四分之一圈。

== 一个应用 ==
把欧拉公式与它的共轭形式相加或相减，可得

<math display="block">\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.</math>

这使三角函数问题可以转化成指数函数的运算，在振动、波动与微分方程中非常有用。

== 相关条目 ==
* [[微积分]]：理解函数的变化与累积。
* [[微分方程]]：描述随时间演化的系统。
* [[环面]]：从参数方程走向空间曲面。
[[分类:分析]]