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'''核密度估计图'''（kernel density estimate plot）把一批连续数值附近的“集中程度”画成一条平滑曲线。曲线的纵坐标是'''密度'''，不是一个观测值恰好等于该横坐标的概率；某个区间下方的面积才与该区间所占比例对应。它与[[直方图]]都用于观察数值分布，但平滑曲线需要另选一个'''带宽'''，因此不是原始数据的唯一画法。

== 五次等候得到一条曲线 ==

设五次等候分别为 <math>2,3,3,4,6</math> 分钟。这是一组'''合成教学数据'''。在横轴标出五个数时，三分钟处有两个观察值，图下方的两道短刻痕也保留了这个重复。用高斯核作为每个观测附近的平滑小峰，带宽为 <math>h>0</math> 时，估计密度定义为
<math display="block">\widehat f_h(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\!\left(\frac{x-x_i}{h}\right),\qquad K(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2},\quad n=5.</math>

<math>x_i</math> 是第 <math>i</math> 次等候的分钟数，<math>h</math> 的单位也是分钟。因而 <math>\widehat f_h(x)</math> 的单位是“每分钟”；改变时间单位时，曲线的纵坐标数值也相应改变。式中的 <math>1/n</math> 让五次记录的总权重为一，<math>1/h</math> 则使小峰加宽时不凭空增加面积。

取 <math>h=1</math> 分钟，在三分钟处，五个观测的贡献可逐项写出：来自两个三分钟值的是 <math>2e^0</math>，来自两分钟和四分钟的是 <math>2e^{-1/2}</math>，来自六分钟的是 <math>e^{-9/2}</math>。所以
<math display="block">\widehat f_1(3)=\frac{2+2e^{-1/2}+e^{-9/2}}{5\sqrt{2\pi}}\approx0.2573\ \mathrm{min}^{-1}.</math>
这个数是曲线在三分钟处的高度；不能说“恰好等三分钟的概率为 25.73%”。数据里三分钟确实出现两次，但经验比例 <math>2/5</math> 与平滑密度的高度不是同一种量。

[[File:Gezhi-stats-density-bandwidth.svg|frame|center|alt=同一组2、3、3、4、6分钟等候时间的高斯核密度曲线，金色带宽0.4分钟、浅绿色带宽1分钟、灰色虚线带宽2分钟；底部短线标原始观测，三分钟标两道|原始的五次记录没有变化。带宽较小时，局部峰较尖；带宽较大时，曲线变平。横轴单位为分钟，纵轴单位为每分钟；比较曲线形状时应连同带宽一起报告。]]

== 面积为一，峰高却没有统一答案 ==

高斯核自身的面积为一。对于上式中的任何一个 <math>x_i</math>，令 <math>u=(x-x_i)/h</math>，就有 <math>dx=h\,du</math>。因此
<math display="block">\int_{-\infty}^{\infty}\widehat f_h(x)\,dx
=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}h\int_{-\infty}^{\infty}K(u)\,du
=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1=1.</math>
这也解释了图中 <math>h=0.4</math> 的峰虽然比 <math>h=2</math> 的峰高，总面积仍相同。小带宽保留更多局部起伏，也可能把抽样偶然性画成多个峰；大带宽能压低这种起伏，却可能抹去真实的多峰结构。单靠一条平滑曲线，不能判定总体真的有几个峰。

== 与直方图放在同一坐标上 ==

要把核密度曲线叠在直方图上，直方图的纵轴也须先用'''密度尺度'''。若第 <math>j</math> 组含 <math>n_j</math> 个值，组宽为 <math>\Delta_j</math>，总观测数为 <math>n</math>，该矩形的高度应取 <math>n_j/(n\Delta_j)</math>，其面积为 <math>n_j/n</math>。把一条面积为一的密度曲线直接叠在“人数”为纵轴的直方图上，曲线与矩形便不在同一尺度上。

曲线在样本最小值之外也可能略高于零，因为高斯核的尾部延伸到整个实数轴。等候时间不可能为负，若数据集中在零附近，这种边界外的曲线尤其值得检查，可考虑边界修正、变量变换或直接展示原始点。此图只有五次记录，适合讲解计算，不足以据此断言实际等候时间的总体分布。

将本例的带宽从 <math>1</math> 改为 <math>0.4</math> 或 <math>2</math> 时，可以在图中找同一横坐标下的三种高度。若研究目的是比较两组等候，先核对两组的样本量、带宽与坐标尺度，再考虑用[[分面图]]或原始点辅助阅读。

== 参考资料 ==
* [https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_density.html ggplot2：核密度图官方说明]，带宽、核函数与分组估计的绘图参数。
* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section4/eda4292.htm NIST/SEMATECH：图形输出与解释]，直方图的分箱选择和非参数密度估计的互补作用。
* 相关：[[直方图]]、[[概率分布]]、[[统计图形语法]]。

[[分类:概率与统计]]