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'''Q-Q 图'''（quantile–quantile plot）把两套分位数按相同的累计概率配成点，用来检查分布形状是否相近。一种常见用法是把样本分位数与指定理论分布的分位数比较：横轴是理论值，纵轴是样本排序后的值。若两者只差位置和平移伸缩，点会大致沿直线排列；局部弯曲或尾端偏离提示要回到数据与模型检查。

== 把概率位置与观测值配对 ==

先看五个有序观测 <math>-2,-1,0,1,2</math>。这是合成教学数据。为避免把最小和最大值硬放在理论分布的无穷尾端，取概率位置 <math>p_i=(i-1/2)/5</math>，即 <math>0.1,0.3,0.5,0.7,0.9</math>。若比较对象是标准正态分布，理论横坐标取满足 <math>\Phi(q_i)=p_i</math> 的 <math>q_i</math>：
<math display="block">q_i\approx -1.282,-0.524,0,0.524,1.282.</math>
这里 <math>\Phi</math> 是标准正态累计分布函数。例如 <math>p_3=0.5</math> 对应 <math>q_3=0</math>；它与样本第三个数 0 配成图上的 <math>(0,0)</math>。

[[File:Gezhi-stats-qq-theory-positions.svg|frame|center|alt=标准正态累计曲线上标出概率0.1、0.3、0.5、0.7、0.9及相应的五个理论分位数|五个橙点先确定理论横坐标；Q-Q 图再把排序后的五个观测依次放在这些横坐标上。]]

概率位置的选法不止这一种；改变它会轻微改变有限样本点的位置，尤其是两端。比较两幅 Q-Q 图时，先核对所用理论分布、参数和概率位置。标准正态仅是本例的参照，不能因为横轴写“正态”便认定观测来自正态总体。

== 一次极端观测怎样改变右尾 ==

把前四个值保留，只将最大值从 2 改成 6，得到 B 组 <math>-2,-1,0,1,6</math>；原组记为 A。两组前四个样本分位数相同，于是它们在图中的前四个位置重合。第五个点却分别位于 <math>(1.282,2)</math> 和 <math>(1.282,6)</math>。这种差别藏在直方图宽箱中可能不醒目，但在 Q-Q 图的右端直接显现。

[[File:Gezhi-stats-qq-tail.svg|frame|center|alt=A组有序值负2、负1、0、1、2与B组负2、负1、0、1、6对标准正态的Q-Q图；前四点重合，第五点B明显高于四分位参考线|虚线由样本中部四分位数确定。B 的最高观测在右端远高于它，提示这条记录或右尾模型需要检查；五个数不能据此判定总体分布。]]

图中的虚线不是“样本一定应落在上面”的标准正态密度。它通过理论分布的 25% 和 75% 分位点 <math>\pm0.6745</math>，以及两组相同的样本四分位数 <math>-1,1</math>。因此斜率约为
<math display="block">\frac{1-(-1)}{0.6745-(-0.6745)}\approx1.483,</math>
截距为零。在最高点的理论横坐标 <math>1.282</math> 处，这条线给出的纵坐标约 <math>1.90</math>；A 的 2 很接近，B 的 6 则相距很远。直线斜率反映相对尺度，截距反映位置差，故判断“近似一条直线”不等于必须贴着 45° 的 <math>y=x</math>。

== 诊断信号与结论边界 ==

若中部近直线而右尾持续上翘，可能是样本右尾比参照分布更长，也可能来自异常记录、混合了不同组或样本很小的偶然波动。下一步应检查原始值、采集过程，再看是否需要按条件[[分面图|分组]]或换参照分布。不能从五个点的一次偏离得出“通过”或“未通过”正态性检验的结论。

Q-Q 图也能比较两个样本：在相同的 <math>p_i</math> 下，把两组的样本分位数分别作横纵坐标。若两组样本量不同，可用各自的分位数函数在共同概率位置求值，不能简单把不同长度的两列按行硬配。与[[经验分布函数图]]相比，Q-Q 图强调对应分位数之间的关系，ECDF 则更便于在具体阈值读取累计比例。

== 参考资料 ==
* [https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_qq.html ggplot2：Q-Q 图与四分位参考线]，理论分位数、样本分位数及参照线。
* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda33o.htm NIST/SEMATECH：Quantile-Quantile Plot]，两组分布的分位数比较。
* 相关：[[正态分布]]、[[经验分布函数图]]、[[直方图]]、[[残差分析]]。

[[分类:概率与统计]]