查看“︁置信带图”︁的源代码

'''置信带图'''用一条曲线和其周围的阴影区域表示估计的不确定性。横轴连续变化时，画带比在每个位置竖一条[[误差线图|误差线]]更容易看出范围怎样改变；阴影本身却不告诉读者它是均值置信区间、单次预测区间、分位范围还是人为设定的容差。图注应把对象、算法、置信水平和前提写清楚。

== 五个点拟合一条直线 ==

设五对合成观测为 <math>(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)</math>。用含截距的一元最小二乘直线 <math>\widehat y(x)=a+bx</math> 描述其平均关系。这里 <math>\bar x=3</math>、<math>\bar y=4</math>，并可直接求得
<math display="block">S_{xx}=\sum_{i=1}^{5}(x_i-3)^2=10,\qquad
S_{xy}=\sum_{i=1}^{5}(x_i-3)(y_i-4)=9.</math>
所以 <math>b=S_{xy}/S_{xx}=0.9</math>、<math>a=\bar y-b\bar x=1.3</math>，拟合线为 <math>\widehat y(x)=1.3+0.9x</math>。当 <math>x=3</math> 时，线上的值是 4；原始观测在 <math>x=3</math> 处却是 5。这说明拟合值代表模型估计的条件均值，不能替代每一个原始值。

逐点相减得到残差 <math>-0.2,-0.1,1,-0.9,0.2</math>，平方和为 <math>1.9</math>。两个回归参数从五点估计，残差自由度为 <math>5-2=3</math>，故残差标准差
<math display="block">s=\sqrt{\frac{1.9}{3}}\approx0.796.</math>
这些算式解释了图上中心线和阴影宽度从哪里来；阴影不是绘图软件自动添加的“可信区域”。

== 均值置信带与单次预测带 ==

暂且假设各个 <math>x_i</math> 为固定设计值，在这些位置的误差独立、均值为零、方差相同且服从正态分布。在某个给定 <math>x_0</math> 处，'''总体条件均值'''的点态 95% 置信区间以 <math>\widehat y(x_0)</math> 为中心，半宽为
<math display="block">t_{0.975,3}\,s\sqrt{\frac15+\frac{(x_0-3)^2}{10}},\qquad t_{0.975,3}\approx3.182.</math>
若要预测'''下一条独立观测'''，必须再加上它自身的随机误差，半宽变为
<math display="block">t_{0.975,3}\,s\sqrt{1+\frac15+\frac{(x_0-3)^2}{10}}.</math>
根号里多出的 <math>1</math> 正是下一条观察值本身的变动；因此同一位置的预测带比均值置信带宽。

[[File:Gezhi-stats-bands-line.svg|frame|center|alt=五个合成观测及最小二乘线y等于1.3加0.9x，浅绿色内带为均值的逐点95%置信区间，金色外带为新观测的逐点95%预测区间|横轴 3 附近两带较窄，向已有数据的两端加宽；外带包含未来单次观测的额外变异。阴影只在本例观测的 x 范围 1 至 5 内绘制。]]

在中心 <math>x_0=3</math> 处，两种区间的计算尤其容易核对。均值区间的半宽为 <math>3.182\times0.796\sqrt{1/5}\approx1.133</math>，即约 <math>[2.87,5.13]</math>；新观测的预测区间半宽为 <math>3.182\times0.796\sqrt{1+1/5}\approx2.774</math>，即约 <math>[1.23,6.77]</math>。

[[File:Gezhi-stats-bands-cross-section.svg|frame|center|alt=在x等于3处，中心拟合值4的均值置信区间约2.87至5.13，未来单次观测预测区间约1.23至6.77|把曲线在 x=3 处横切开，可看见两个中心相同、对象却不同的区间；较宽的金色线用于下一次观测。]]

== 阴影不能替代模型检查 ==

这里的“95%”逐点针对'''预先给定的一个 <math>x_0</math>'''。把所有这些区间并排涂成一条带，不表示整条未知回归函数有 95% 的概率同时处处落在带内；那需要专门的同时置信带方法。小样本只有五点，独立、线性、等方差和正态误差也难从图上确认，应结合[[残差分析]]和数据来源判断。

两种带在 <math>x=3</math> 最窄，是因为那里靠近观测横坐标的中心；远离中心时 <math>(x_0-3)^2/10</math> 增大。图只画在已有 <math>x=1</math> 至 <math>5</math> 的范围。若把直线和阴影向很远处延伸，公式仍能给数值，但线性模型未必继续适用，统计区间不能保护错误的外推模型。

== 参考资料 ==
* [https://online.stat.psu.edu/stat462/node/127/ Penn State STAT 462：新观测预测区间]，简单线性回归中的 <math>1+1/n+(x_0-\bar x)^2/S_{xx}</math>。
* [https://itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section1/pmd132.htm NIST/SEMATECH：回归预测与区间]，均值置信区间和单次测量预测区间的对象差异。
* [https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_ribbon.html ggplot2：带状图层]，以 <code>ymin</code> 与 <code>ymax</code> 绘制区间；图层不会自动决定区间含义。
* 相关：[[最小二乘法]]、[[误差线图]]、[[残差分析]]、[[统计推断]]。

[[分类:概率与统计]]