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'''矩阵的秩'''（rank）是矩阵列向量能够提供的独立方向数；它也等于行向量的独立方向数。秩不是“非零数字的个数”，而是在询问哪些信息可以由其他列或行线性组合出来。

想象三种原料分别对应系数矩阵的三列。若第三列恰能由前两列拼出，给第三种原料任意增加一份，同时调整前两种原料，最终产物可能完全不变。方程 <math>Ax=b</math> 中的自由变量和不可辨认的输入，正来自这样的依赖关系。

== 行阶梯形中的主元 ==
考虑
<math display="block">B=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&4&6\\
1&1&1
\end{pmatrix}.</math>
第二行是第一行的两倍。用[[线性方程组与高斯消元|消元]]，先做 <math>R_2\leftarrow R_2-2R_1</math>、<math>R_3\leftarrow R_3-R_1</math>，再交换后两行，可得
<math display="block">B\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
阶梯形中有两个非零行、两个主元，因此 <math>\operatorname{rank}(B)=2</math>。这里的 <math>\sim</math> 表示经可逆初等行变换得到，'''不'''表示两个矩阵逐项相等。

也可直接从列看：记三列为 <math>c_1,c_2,c_3</math>，计算得 <math>c_3=2c_2-c_1</math>。前两列不成比例，故确有两个独立方向；第三列没有增加新的方向。这与消元所得秩相符。

== 被抹去的输入方向 ==
令 <math>Bx=0</math>，其中 <math>x=(x_1,x_2,x_3)^{\mathsf T}</math>。阶梯形给出
<math display="block">x_1+2x_2+3x_3=0,\qquad -x_2-2x_3=0.</math>
取自由变量 <math>x_3=t</math>，就有 <math>x_2=-2t</math>、<math>x_1=t</math>，因此
<math display="block">\ker B=\{t(1,-2,1)^{\mathsf T}:t\in\mathbb R\}.</math>
直接把 <math>(1,-2,1)</math> 代回原矩阵，三行结果都是零。输入有三个坐标，两个独立方向能在输出中辨认，剩下一个方向被映成零。这里具体体现了[[线性代数]]中的秩—零度定理：
<math display="block">\text{输入维数}=\operatorname{rank}(B)+\dim\ker B=2+1=3.</math>

== 方程有无解由谁决定 ==
现在考虑 <math>Bx=b</math>。因为原矩阵第二行是第一行两倍，右端也必须满足 <math>b_2=2b_1</math>。例如 <math>b=(3,6,2)^{\mathsf T}</math> 满足这一必要条件；消元后它确有解。若把中间的 6 改成 7，左端第二行仍永远是第一行两倍，右端却不是，方程必无解。

一般地，在增广矩阵 <math>[A\mid b]</math> 中做行变换：
* 若 <math>\operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b])</math>，最后出现 <math>0=c</math>（<math>c\ne0</math>），无解。
* 若两秩相等，至少有一个解；若这共同的秩还等于未知数个数，则没有自由变量，解唯一；否则有无穷多解（在实数域上）。

这不是一套另起的规则。增广列 <math>b</math> 若增加了一个独立方向，表示目标不在原列空间，因而拼不出；若没有增加，则目标可以由原列组合出来。

== 行秩与列秩为何相同 ==
可逆行运算相当于对所有列同时施加一个可逆变换，因此不会改变列之间的线性关系。把矩阵化为行最简形后，主元列的数量既是独立列的数量，也是非零行的数量。于是行空间和列空间虽然处在不同坐标空间、具体向量不一样，维数却相等，统称矩阵的秩。

在精确算术中，主元是否为零是明确的。实测数据用小数表示时，一个非常小但非零的主元可能来自舍入或噪声；此时“数值秩”要说明容差和单位缩放，不能只靠肉眼数非零项。[[最小二乘法]]中的拟合参数是否可辨认，就与设计矩阵的秩有关。

== 参考资料 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/the-four-fundamental-subspaces/ MIT OpenCourseWare，18.06SC，The Four Fundamental Subspaces]：列空间、零空间与秩。
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/pages/syllabus/ MIT OpenCourseWare，18.06 课程大纲]：秩、主元与方程组解集。
* 继续阅读：[[线性方程组与高斯消元]]、[[向量空间]]、[[最小二乘法]]。
[[分类:代数]]