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'''圆'''（circle）是平面上到一个定点距离相同的所有点组成的曲线。定点叫圆心，共同的距离叫半径。'''弧度'''（radian）则用圆弧的长度与半径之比来量角；它使角度、路程和面积可以直接放进同一组公式。

设一只半径为 6 厘米的圆盘，从指针朝右的位置逆时针转过 <math>60^\circ</math>。指针尖端走过的不是连接起点和终点的直线，而是圆周上的一段弧。先弄清这段弧占整圈的多少，再计算长度。

== 圆心、半径与坐标方程 ==
在直角坐标系中，圆心为 <math>C=(a,b)</math>、半径为 <math>r>0</math> 的圆，满足
<math display="block">(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.</math>
这是[[勾股定理]]给出的距离公式：从 <math>C</math> 到 <math>P=(x,y)</math> 的水平、竖直位移分别为 <math>x-a</math>、<math>y-b</math>，直线距离的平方就是这两个位移平方之和。

例如 <math>(x-2)^2+(y+1)^2=9</math> 的圆心是 <math>(2,-1)</math>，半径是 3。点 <math>(2,2)</math> 在圆上，因为它与圆心相距 3；点 <math>(2,0)</math> 在圆内，因为距离只有 1。等式给出'''圆周'''，不等式 <math>(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2</math> 才包括圆内的区域。

若 <math>r=0</math>，方程只留下圆心一个点；若右端为负实数，则没有实平面上的点满足。说“半径为正”排除了这些退化情形。

== 一周对应 2π 弧度 ==
把圆周长记为 <math>2\pi r</math>。圆心角占整周的比例，也等于它截出的弧占整个圆周的比例。若弧长为 <math>s</math>，定义弧度数
<math display="block">\theta=\frac{s}{r}.</math>
走完一周时 <math>s=2\pi r</math>，所以整周为 <math>2\pi</math> 弧度；半周为 <math>\pi</math>，直角为 <math>\pi/2</math>。与一周 <math>360^\circ</math> 对应，换算式是
<math display="block">\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{deg}}\frac{\pi}{180}.</math>
因此开头的 <math>60^\circ</math> 是 <math>\pi/3</math> 弧度，圆盘边缘经过的弧长为 <math>s=r\theta=6(\pi/3)=2\pi</math> 厘米。把角度数 60 直接代入 <math>s=r\theta</math> 会多算约 57 倍；这条公式里的角必须先化成弧度。

[[File:Gezhi-core-circle-radian.svg|frame|center|alt=半径六的圆标出六十度扇形、半径和对应弧；右边把同一段弧展开成直线并标出长度二派厘米|弧长是沿圆周量出的距离，不是两端点之间的弦长。]]

为比较两种距离，在图中连接弧的两端得到一条'''弦'''。本例两条半径夹角为 <math>60^\circ</math>，所成三角形是等边三角形，弦长只有 6 厘米，小于弧长 <math>2\pi</math> 厘米。弧与弦会在角很小时接近，却不应混写为同一长度。

== 扇形面积与角度 ==
同一圆中的扇形面积也按圆心角的比例分配。整圆面积为 <math>\pi r^2</math>，角 <math>\theta</math> 弧度占整周的比例为 <math>\theta/(2\pi)</math>，于是
<math display="block">A=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^2=\frac12r^2\theta=\frac12rs.</math>
开头的扇形面积为 <math>\frac12\cdot6^2\cdot\frac{\pi}{3}=6\pi</math> 平方厘米。面积的单位是平方厘米，弧长的单位是厘米；同一个角度不使二者变成同一种量。

如果转动方向改为顺时针，可给角度记负号以记录方向；几何弧长和面积仍取非负值。在绝对值不超过一周的简单情形，长度写成 <math>r|\theta|</math>，面积写成 <math>r^2|\theta|/2</math>。超过一周时，转过的'''总路程'''与起终点之间的一段短弧也要区分。

== 从转角到坐标 ==
把半径缩放到 1，并把圆心放在原点，就得到[[单位圆与三角函数|单位圆]]。转角不再只给出“走了多远”，还决定终点的横坐标和纵坐标。以弧度作为输入，正弦、余弦和[[欧拉公式]]的求导公式才具有最简形式。若把角当作度数，求导时会额外出现 <math>\pi/180</math>。

试把半径改成 9 厘米，转角改成 <math>120^\circ</math>。弧度为 <math>2\pi/3</math>，所以弧长是 <math>6\pi</math> 厘米，扇形面积是 <math>27\pi</math> 平方厘米。这里角度变为原来的两倍，半径变为原来的 <math>3/2</math>；面积因而变成原来的 <math>2(3/2)^2=9/2</math> 倍，与 <math>6\pi</math> 到 <math>27\pi</math> 的计算吻合。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles OpenStax，Precalculus 2e，§5.1 Angles]：角度、弧度与弧长。
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions 同书 §5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions]：半径为一时的弧与坐标。
* 继续阅读：[[单位圆与三角函数]]、[[勾股定理]]、[[圆锥曲线]]。
[[分类:几何]]