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'''无穷级数'''（infinite series）把数列的项依次相加，但“无穷多项之和”要通过有限部分和的极限来定义。对给定项 <math>a_1,a_2,\ldots</math>，先算
<math display="block">S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+\cdots+a_n.</math>
若数列 <math>S_n</math> 趋于有限数 <math>S</math>，才写 <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k=S</math>；否则称级数发散。判断对象是'''部分和'''，不是单个 <math>a_n</math>。

== 几何级数的收敛 ==
从半条线段开始，依次补上剩余的一半：长度为 <math>1/2,1/4,1/8,\ldots</math>。第 <math>n</math> 次后，已覆盖
<math display="block">S_n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}=1-\frac1{2^n}.</math>
[[File:Gezhi-core-geometric-partials.svg|frame|center|alt=单位线段分成二分之一、四分之一、八分之一等连续区间，每一步部分和离一的剩余长度减半|图上的线段不会在有限步完全涂满；极限意义下，剩余长度趋于零。]]
从等式可见剩余量 <math>1-S_n=2^{-n}</math> 趋于零，所以级数之和为 1。这里没有“最后一块”突然把缝隙填满；每一步都只做有限次加法，极限说明误差可以任意小。

== 等比级数的完整条件 ==
首项为 <math>a</math>、公比为 <math>r</math> 的前 <math>n</math> 项和是
<math display="block">S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}.</math>
把它乘 <math>r</math> 再相减，中间项两两抵消：
<math display="block">(1-r)S_n=a-ar^n.</math>
当 <math>r\ne1</math>，便有 <math>S_n=a(1-r^n)/(1-r)</math>。只有在 <math>|r|<1</math> 时，<math>r^n\to0</math>，从而
<math display="block">\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r},\qquad |r|<1.</math>
若 <math>a\ne0</math>、<math>r=1</math>，每次都加 <math>a</math>，部分和不趋有限值；若 <math>r=-1</math>，部分和在两个值之间跳动；若 <math>|r|>1</math>，项本身的绝对值越来越大。<math>a=0</math> 是平凡例外，此时每项都为零。

例如 <math>3-\frac32+\frac34-\cdots</math> 的首项是 3、公比是 <math>-1/2</math>，所以和为 <math>3/(1+1/2)=2</math>。前三项之和为 <math>9/4</math>，在 2 附近来回逼近；交替变号不妨碍收敛，关键是公比绝对值小于 1。

== 项趋零只是必要条件 ==
若 <math>S_n\to S</math>，则 <math>a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0</math>。因此级数收敛必有 <math>a_n\to0</math>；反过来不成立。调和级数
<math display="block">1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math>
的项趋零，部分和却不断增长。把项按 <math>1;\;1/2;\;(1/3+1/4);\;(1/5+\cdots+1/8);\ldots</math> 分组：从第三组起，每组有 <math>2^{j-1}</math> 项，每项至少 <math>1/2^j</math>，所以每组至少增加 <math>1/2</math>。组数无穷，部分和就没有有限上界。这个推理指出了“项很小”仍可能累积出无限总量的原因。

== 比较判别法 ==
对非负项级数，部分和单调递增。因此若能找到统一上界，按[[数列的极限|单调有界定理]]，级数便收敛。例如对 <math>n\ge2</math>，
<math display="block">0<\frac1{n^2}<\frac1{n(n-1)}
=\frac1{n-1}-\frac1n.</math>
右侧从 2 加到 <math>N</math> 时大部分相消，只剩 <math>1-1/N<1</math>。所以 <math>\sum_{n=2}^{\infty}1/n^2</math> 的部分和小于 1，连同第一项，<math>\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2</math> 必收敛且其和小于等于 2。比较法在这里证明'''存在有限和'''，并没有算出其精确值。

条件只适用于被比较的非负项。带正负号的级数还要分析抵消是否稳定；随意重排条件收敛级数甚至可能改变结果。后续[[幂级数]]把公比换成变量 <math>x</math>，从而把“哪些数列能相加”转成“在哪些输入上定义一个函数”。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-2-infinite-series OpenStax，Calculus Volume 2，§5.2 Infinite Series]：部分和、几何级数与调和级数。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-4-comparison-tests 同书 §5.4 Comparison Tests]：非负项级数的比较判别。
* 继续阅读：[[数列的极限]]、[[幂级数]]、[[泰勒定理]]。
[[分类:分析]]
[[分类:微积分]]