查看“︁圆周角定理”︁的源代码

同一圆中，若圆周角 <math>\angle ABC</math> 和圆心角 <math>\angle AOC</math> 对着同一段'''不含 <math>B</math> 的弧''' <math>AC</math>，则圆周角等于该圆心角的一半。说明是哪一段弧很重要：同一条弦两侧的圆周角分别对着互补的两段弧，通常并不相等。

== 从等腰三角形拆角 ==
连结 <math>OA,OB,OC</math>，其中 <math>OA=OB=OC</math> 都是半径。先看直径 <math>BD</math> 与弦 <math>BA</math>：因为 <math>B,O,D</math> 共线，等腰三角形 <math>AOB</math> 的两底角均为 <math>\angle ABD=\alpha</math>。外角 <math>\angle AOD</math> 等于两个底角之和 <math>2\alpha</math>，所以圆周角 <math>\angle ABD</math> 正好是所对弧 <math>AD</math> 的圆心角的一半。

对另一弦 <math>BC</math> 同理得到 <math>\angle DBC</math> 与弧 <math>DC</math> 的关系。若直径射线 <math>BD</math> 位于 <math>\angle ABC</math> 内，就把两圆周角相加，同时把对应弧的圆心角相加；若射线在角外，则把两式相减。两种位置都得到弧 <math>AC</math> 的圆心角是 <math>\angle ABC</math> 的两倍。这里始终取'''不含 <math>B</math> 的弧'''，故跨过半圆时也不会误用较小圆心角。

例如不含 <math>B</math> 的弧 <math>AC</math> 对应 <math>100^\circ</math> 的圆心角，则 <math>\angle ABC=50^\circ</math>。同弧所对的其他圆周角也都为 <math>50^\circ</math>；位于弦另一侧的圆周角则对着余下的 <math>260^\circ</math> 弧，度数为 <math>130^\circ</math>。由此还可推出圆内接四边形对角互补。

图中金色弧 <math>AC</math> 不含 <math>B</math>，虚线半径夹成 <math>100^\circ</math>，实线弦在 <math>B</math> 处夹成 <math>50^\circ</math>。若把 <math>B</math> 移到金色弧上，原来的半角关系要改用另一段弧，不能沿用图中的 50 度。

[[File:Gezhi-add100-inscribed-angle.svg|frame|center|alt=圆心O的两条半径OA与OC对应金色一百度弧AC，圆周上另一侧的B以弦BA与BC形成五十度角|弧AC不含B，圆周角ABC是同弧圆心角AOC的一半。]]

== 使用时先核对位置 ==
圆心角若取小于 <math>180^\circ</math> 的那个，但顶点 <math>B</math> 恰位于对应小弧上，那么 <math>\angle ABC</math> 对着的是'''大弧'''，应使用大弧的圆心角。只写“同弦圆周角等于圆心角一半”而不标清弧，会在这种情形得到错误答案。[[切线与弦定理]]把圆周角与切线夹角联系起来。

== 参考资料 ==
* [https://webspace.ship.edu/mrcohe/inside-out/vu1/d_joyce/elements/bookIII/propIII20.html David Joyce 编《几何原本》III.20]。
* [https://sites.math.washington.edu/~king/coursedir/m444a04/lab/lab05.html 华盛顿大学几何课程：圆周角]。
* 继续阅读：[[圆与弧度]]、[[切线与弦定理]]、[[外接圆与外心]]。
[[分类:几何]]