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把一团气体与外界划出边界，就能追踪能量怎样越过边界。'''热力学第一定律'''是这笔收支：若 <math>Q</math> 表示外界'''传给系统'''的热量，<math>W</math> 表示'''系统对外'''做的功，则系统内能改变为
<math display="block">\Delta U=Q-W.</math>
<math>U</math> 是状态量，初末状态一旦确定，<math>\Delta U</math> 就确定；<math>Q</math> 与 <math>W</math> 则随过程而变。这里约定“气体对外做功”为正；有些书采用“外界对气体做功”为正，公式会写成 <math>\Delta U=Q+W_{\mathrm{on}}</math>，两种记法必须先看定义。

== 活塞推动外界 ==
气体在可移动活塞内膨胀。若外压 <math>p</math> 在短过程内可视为均匀，活塞位移 <math>dx</math> 使体积增量 <math>dV=A\,dx</math>，气体对外做功 <math>dW=pA\,dx=p\,dV</math>。因此准静态过程中 <math>W=\int_{V_1}^{V_2}p\,dV</math>；在压力—体积图上，这是曲线下的'''有向面积'''。压缩时 <math>dV<0</math>，气体对外做功为负，外界是在对气体做功。

[[File:Gezhi-physics-pv-first-law.svg|frame|center|alt=压力体积坐标中从一升到二升的水平等压膨胀，矩形面积标为一百焦耳；热量二百五十焦耳进入气体|压强乘体积变化给出做功，输入热量减去这部分，剩下的才是内能增加。]]

教学算例取恒压 <math>p=100\,\mathrm{kPa}</math>，体积从 <math>1.0</math> 升增加到 <math>2.0</math> 升，吸热 <math>Q=250\,\mathrm J</math>。一升等于 <math>10^{-3}\,\mathrm{m^3}</math>，所以 <math>W=p\Delta V=(100000\,\mathrm{Pa})(0.001\,\mathrm{m^3})=100\,\mathrm J</math>，内能增加 <math>\Delta U=250-100=150\,\mathrm J</math>。<math>\mathrm{Pa\,m^3}=\mathrm J</math>，量纲也正确。若这团气体还可视为单原子理想气体，<math>\Delta U=\tfrac32 nR\Delta T</math> 且恒压下 <math>nR\Delta T=p\Delta V=100\,\mathrm J</math>，恰好给出 <math>150\,\mathrm J</math>；这一步另用了理想气体与单原子假设。

== 同端点不等于同做功 ==
若从同一初态到同一末态改走另一条 <math>p(V)</math> 曲线，曲线下的面积一般不同，于是 <math>W</math> 不同，所需的 <math>Q=\Delta U+W</math> 也不同。绝热过程 <math>Q=0</math>；定容过程 <math>W=0</math>。这些过程名说的是跨边界的传热或体积变化条件，不是说气体“没有能量”。

如果系统走完一整个循环又回到原来的热力学状态，<math>\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0</math>，于是按本页符号约定有 <math>Q_{\mathrm{cycle}}=W_{\mathrm{cycle}}</math>。这只表示'''净吸热'''等于'''净对外做功'''，并不表示每段过程的热量和功都为零。压力—体积图上一条闭合曲线所围的'''有向面积'''给出循环净功；顺时针与逆时针循环的符号相反。第一定律管能量收支，热量能否全部转化为功还要受热力学第二定律约束。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-3-first-law-of-thermodynamics OpenStax《University Physics》3.3]，第一定律与符号约定。
* [https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-2-work-heat-and-internal-energy OpenStax《University Physics》3.2]，功、热与内能。
[[分类:物理]]