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'''算术平均数'''平均的是可相加的量；'''几何平均数'''平均的是连乘因子；'''调和平均数'''常用于“分子固定、分母随情形变化”的比率。对正数 <math>x_1,\ldots,x_n</math>，三者分别为
<math display="block">M_A=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i,\qquad M_G=\left(\prod_{i=1}^nx_i\right)^{1/n},\qquad M_H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n1/x_i}.</math>
这些公式不是三种可随意互换的“打分方法”；先写清每个数据代表的总量怎样合并，再选择平均方式。

== 两期收益为什么要先相乘 ==
一个量第一期增长 20%，第二期下降 20%，对应增长因子 <math>1.2</math> 和 <math>0.8</math>。从 100 出发，先到 120，再到 96：两期合起来减少 4%。若用同一个等效增长因子 <math>f</math> 连续作用两期，就须满足
<math display="block">100f^2=96,\qquad f=\sqrt{1.2\times0.8}=\sqrt{0.96}\approx0.979796.</math>
故等效每期增长率约为 <math>-2.0204\%</math>。增长率的算术均值 <math>(20\%-20\%)/2=0</math>，错在它把以不同期初量计算的百分比当成可直接相加的金额。[[复利与贴现]]也从同一乘积关系导出跨期余额。

若各期因子均为正，<math>n</math> 期的等效因子为 <math>(\prod_{i=1}^nf_i)^{1/n}</math>，等效增长率再减 1。若某期因子为零，终值归零，几何平均因子为零；若因子为负，它已不再是普通正余额的逐期增长模型，不能照用这个解释。

[[File:Gezhi-econ-growth-factors.svg|frame|center|alt=一百先增长百分之二十至一百二十，再下降百分之二十至九十六；两条相等比例的等效增长箭头也到九十六|相同的百分之二十对应不同的期初量；等效每期率由乘积而非百分点的算术均值决定。]]

== 等距离往返的平均速度 ==
骑行者去程走 60 千米，速度 60 千米／小时；返程走 60 千米，速度 30 千米／小时。去程用 1 小时，返程用 2 小时，总距离 120 千米、总时间 3 小时，所以全程平均速度为 40 千米／小时。

若'''两段距离相等'''，令其各为 <math>d</math>，两速度为正数 <math>v_1,v_2</math>，则
<math display="block">\bar v=\frac{2d}{d/v_1+d/v_2}=\frac2{1/v_1+1/v_2}=M_H(v_1,v_2).</math>
这里调和平均数不是记忆口诀，而是总距离除以总时间的结果。若改为'''两段时间相等'''，总距离是 <math>tv_1+tv_2</math>、总时间是 <math>2t</math>，平均速度改为算术平均 <math>(v_1+v_2)/2=45</math> 千米／小时。条件改变了，平均数也改变了。

[[File:Gezhi-econ-equal-distance-speed.svg|frame|center|alt=相同六十千米的去程用一小时、返程用两小时，时间轴显示总路程一百二十千米用三小时，平均速度四十千米每小时|距离相同不等于用时相同；图上的两段长度一样，时间跨度不同。]]

== 三种平均数的次序 ==
对两个正数 <math>a,b</math>，由 <math>(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0</math> 得 <math>a+b\ge2\sqrt{ab}</math>，即 <math>M_A\ge M_G</math>。再对正数 <math>1/a,1/b</math> 应用同一个结论：<math>(1/a+1/b)/2\ge1/\sqrt{ab}</math>；两边取倒数（均为正）得到 <math>M_H\le M_G</math>。因此
<math display="block">\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b},</math>
等号恰在 <math>a=b</math> 时成立。这里的证明只针对两个正数；一般 <math>n</math> 项也满足算术 ≥ 几何 ≥ 调和，但需要相应的多项不等式证明。对于 60 与 30，三者依次为 45、约 42.43、40；大小关系能检查计算，却不能代替判断该用哪一种平均数。

== 参考与延伸 ==
* [https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/geommean.htm 美国国家标准与技术研究院，Geometric Mean]；[https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/diffharm.htm Harmonic Mean]。
* [[复利与贴现]]；[[加权平均数与综合评价]]；[[柯西不等式]]。

[[分类:经济与管理]]
[[分类:概率与统计]]