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'''柯布—道格拉斯生产函数'''（Cobb–Douglas production function）把产出表示为几种投入的幂之积。两投入形式常写作 <math>Q=AK^\alpha L^\beta</math>，其中 <math>K,L>0</math> 分别是资本与劳动投入，<math>A>0</math> 为技术或尺度参数，指数 <math>\alpha,\beta>0</math>。这是一个在给定技术、计量口径下研究投入与产出关系的模型；指数需要由理论设定或数据估计，不是数学公式自行给出的常数。

== 同一产出由两种投入共同决定 ==
设 <math>Q=2K^{0.4}L^{0.6}</math>，为便于演算，<math>K,L</math> 取按固定单位衡量的正数。<math>K=L=100</math> 时，<math>Q=2\times100^{0.4+0.6}=200</math> 件／期。固定劳动，只将资本从 100 加倍到 200，产出变为 <math>200\times2^{0.4}\approx263.90</math>，没有翻倍；这不是投入“无效”，而是劳动仍保持原样。

若目标产出为 200，代入函数并整理，得到等产量线上各点满足
<math display="block">K^{0.4}L^{0.6}=100,\qquad L=\left(\frac{100}{K^{0.4}}\right)^{1/0.6}.</math>
图中向右增加 <math>K</math> 的同时，可以减少 <math>L</math> 并保持相同产量。等产量线说明模型允许投入间替代；它尚未给出哪一点'''成本最低'''，因为还没有说明资本和劳动的价格。

[[File:Gezhi-econ-cobb-isoquant.svg|frame|center|alt=横轴资本K纵轴劳动L，三条向右下方弯曲的等产量线，标出K与L都为一百时产出二百|沿同一曲线移动只变投入组合，不变模型中的产出。不同曲线代表不同产出水平。]]

== 边际产出与弹性 ==
固定劳动 <math>L</math>，只让资本增加一小量，资本的'''边际产出'''是
<math display="block">\frac{\partial Q}{\partial K}=\alpha AK^{\alpha-1}L^\beta=\alpha\frac{Q}{K}.</math>
本例在 <math>(K,L)=(100,100)</math> 处为 <math>0.4\times200/100=0.8</math> 件／每单位资本；同理劳动边际产出 <math>\partial Q/\partial L=\beta Q/L=1.2</math> 件／每单位劳动。它们是该点附近的局部变化率，不是增加任意大数量时产出的精确差额；刚才资本加倍的实际增量约 63.90，而用起点导数乘增加的 100 会得到 80。

对正投入取对数，<math>\ln Q=\ln A+\alpha\ln K+\beta\ln L</math>。固定 <math>L</math> 时两边对 <math>\ln K</math> 求导，得 <math>\partial\ln Q/\partial\ln K=\alpha</math>。因此 <math>\alpha</math> 是资本投入的产出弹性：资本在附近变化 1%，产出约变化 <math>\alpha\%</math>。这里“约”来自微分近似；例如加倍时必须用 <math>2^{\alpha}</math> 算精确因子。

== 规模报酬与参数拟合 ==
把资本和劳动'''同时'''放大 <math>t>0</math> 倍，直接代回：
<math display="block">Q(tK,tL)=A(tK)^\alpha(tL)^\beta=t^{\alpha+\beta}Q(K,L).</math>
所以 <math>\alpha+\beta=1</math> 为规模报酬不变，和大于 1、小于 1 分别对应规模报酬递增、递减。本例两者都加倍，<math>Q</math> 从 200 变成 400。规模报酬比较的是'''所有'''可变投入一同扩张；前节固定劳动时的资本边际产出递减，与此不矛盾。

取对数后的线性式可以用回归估计 <math>\ln A,\alpha,\beta</math>，前提是投入、产出为正且误差与测量口径合适。产业数据常有技术变化、投入质量差异和投入量由预期产出决定的内生性；只凭一条拟合直线不能断言系数是因果贡献。模型由 Charles W. Cobb 与 Paul H. Douglas 在 1928 年的产出研究中推广为经典形式。

== 参考与延伸 ==
* [https://msuweb.montclair.edu/~lebelp/CobbDouglasProdAER1928.pdf Cobb 与 Douglas，''A Theory of Production''，1928]；[https://openstax.org/books/principles-microeconomics-3e/pages/7-4-production-in-the-long-run OpenStax，长期生产]。
* [[偏导数]]；[[幂函数与尺度律]]；[[最小二乘法]]。

[[分类:经济与管理]]
[[分类:应用与建模]]