查看“︁平面向量基本定理与坐标表示”︁的源代码

在平面上，只要选取两个'''不共线'''的方向，每个向量都可以而且只能按一种方式写成它们的线性组合。这是'''平面向量基本定理'''。日常的“向东几格、向北几格”使用了互相垂直的两个方向；换成两条斜方向也能表示同一位移，只是系数会改变。

== 两个方向为何足够且唯一 ==
固定非零且不共线的 <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2</math>。把待表示向量 <math>\mathbf v</math> 的起点与它们放到一起，从 <math>\mathbf v</math> 的终点分别画平行于两个基方向的直线，形成平行四边形。沿两边的有符号倍数给出
<math display="block">\mathbf v=x\mathbf e_1+y\mathbf e_2.</math>
如果还可写成 <math>x'\mathbf e_1+y'\mathbf e_2</math>，相减得 <math>(x-x')\mathbf e_1=-(y-y')\mathbf e_2</math>。若其中一个系数不为零，就会说两个基向量共线，与选取条件冲突；故 <math>x=x'</math>、<math>y=y'</math>。图上的平行线负责构造，非共线性负责唯一性。

[[File:Gezhi-highschool2-oblique-basis.svg|frame|center|alt=两个不共线的斜基向量张成平行四边形，目标向量由沿两条基方向的有符号分量相加得到|两条基方向不必垂直；同一目标向量在不同基下有不同系数。]]

例如在通常的 <math>xy</math> 坐标中取 <math>\mathbf e_1=(1,0)</math>、<math>\mathbf e_2=(1,1)</math>，要表示 <math>\mathbf v=(2,3)</math>，则 <math>x\mathbf e_1+y\mathbf e_2=(x+y,y)</math>。由 <math>y=3</math>、<math>x+y=2</math> 得 <math>x=-1</math>，所以 <math>\mathbf v=-\mathbf e_1+3\mathbf e_2</math>。负系数表示沿第一方向的反向，并不表示向量“有负长度”。

== 直角坐标把运算变成逐项计算 ==
取长度为 1 的水平、竖直基向量 <math>\mathbf i=(1,0)</math>、<math>\mathbf j=(0,1)</math>，它们互相垂直。向量 <math>\mathbf u=x\mathbf i+y\mathbf j</math> 的坐标记作 <math>(x,y)</math>。由线性运算直接得到
<math display="block">(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),\qquad t(x,y)=(tx,ty).</math>
从点 <math>A=(2,-1)</math> 到 <math>B=(5,3)</math> 的向量是 <math>\overrightarrow{AB}=B-A=(3,4)</math>，长度 <math>\sqrt{3^2+4^2}=5</math>。把点的坐标直接当成这段位移会忘记减起点。

由于 <math>\mathbf i\cdot\mathbf i=\mathbf j\cdot\mathbf j=1</math>、<math>\mathbf i\cdot\mathbf j=0</math>，展开两线性组合并消去交叉项，便有
<math display="block">(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2.</math>
例如 <math>(3,4)\cdot(4,-3)=12-12=0</math>，两个非零向量垂直。若仍用上面的斜基 <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2</math>，不能直接把其系数相乘相加当作数量积，因为 <math>\mathbf e_1\cdot\mathbf e_2\ne0</math>；逐项公式依赖'''正交单位基'''。

练习：<math>A=(-1,2)</math>、<math>B=(2,6)</math>，求 <math>\overrightarrow{AB}</math> 及其长度。逐坐标相减得 <math>(3,4)</math>，长度为 5。若从 <math>B</math> 回到 <math>A</math>，向量变为 <math>(-3,-4)</math>，长度仍为 5。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/2-1-vectors-in-the-plane OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1]：平面分量与正交坐标。
* 继续阅读：[[平面向量的概念与运算]]、[[平面向量的几何与物理应用]]、[[基与维数]]。
[[分类:代数]]
[[分类:几何]]
[[分类:高中数学]]