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向量把几何图中的方向与长度变成可计算的关系。选定原点后，点 <math>A</math> 的位置向量记作 <math>\mathbf a</math>；两点之差 <math>\mathbf b-\mathbf a</math> 才是从 <math>A</math> 到 <math>B</math> 的位移。以下用同一三角形说明怎样证明一个几何性质，再把相同的加法用于实际运动。

== 三条中线为何交于同一点 ==
设非退化三角形顶点的位置向量为 <math>\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c</math>。边 <math>BC</math> 的中点 <math>M</math> 有位置向量 <math>\mathbf m=(\mathbf b+\mathbf c)/2</math>。从 <math>A</math> 沿中线走全程的 <math>2/3</math>，所得点 <math>G</math> 为
<math display="block">\mathbf g=\mathbf a+\frac23(\mathbf m-\mathbf a)
=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c}{3}.</math>
右边对 <math>A,B,C</math> 完全对称。若从 <math>B</math> 或 <math>C</math> 出发对各自的中点做同样计算，也得到同一个 <math>\mathbf g</math>，所以三条中线确实相交于 <math>G</math>，而且每条中线都被它按顶点到交点与交点到边中点 <math>2:1</math> 分割。这里不是先假定三线相交，而是分别算出同一点。

[[File:Gezhi-highschool2-triangle-centroid.svg|frame|center|alt=三角形ABC的三条中线分别通向对边中点，并在G交会；一条中线标出顶点到G与G到中点为二比一|从任一顶点走相应中线的三分之二，位置向量都等于三个顶点位置的平均。]]

取 <math>A=(0,0)</math>、<math>B=(6,0)</math>、<math>C=(2,4)</math>，得到 <math>G=(8/3,4/3)</math>。例如 <math>BC</math> 中点为 <math>(4,2)</math>，从 <math>A</math> 走它的 <math>2/3</math> 恰到 <math>(8/3,4/3)</math>。同一坐标还可求面积：以 <math>AB</math> 为底 6、从 <math>C</math> 到底边的高 4，面积为 12。更一般地，面积是 <math>|\det(\mathbf b-\mathbf a,\mathbf c-\mathbf a)|/2</math>；行列式计算的是两边张成的平行四边形有向面积，取绝对值再除以二才是三角形面积。

== 水流与船速要先说明参考系 ==
一条宽 60 米的河中，船相对水以每秒 3 米正向北行驶，水相对岸以每秒 1 米向东流。相对岸的速度是 <math>(1,3)</math> 米/秒，不是 <math>1+3=4</math> 米/秒；其大小是 <math>\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}</math> 米/秒。到对岸需 <math>60/3=20</math> 秒，这段时间向东漂移 <math>1\times20=20</math> 米。把北向分量当成合速度来算渡河时间，是因为河宽只沿南北方向测量。

若希望船头调整到正对岸，必须让船相对水的西向分量抵消每秒 1 米的东向水流；只说“船速 3 米/秒”而不说明是相对水还是相对岸，就无法计算航线。向量加法服务于同一时刻、同一单位和明确参考系。

== 力的数量积给出功 ==
恒力 <math>\mathbf F</math> 作用于位移 <math>\mathbf s</math>，所做的功为 <math>W=\mathbf F\cdot\mathbf s=|\mathbf F||\mathbf s|\cos\theta</math>。一人以 10 牛的恒力斜向上拉物体，力与水平位移夹角 <math>60^\circ</math>，物体水平移动 5 米，则 <math>W=10\cdot5\cdot\cos60^\circ=25</math> 焦耳。只有沿位移方向的 5 牛分量贡献了这段功；垂直分量在这个模型中不贡献功。[[向量的内积]]进一步说明投影公式。

平面向量还把[[余弦定理]]写成 <math>|\mathbf u-\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-2\mathbf u\cdot\mathbf v</math>；若已知三边求面积，再看[[海伦公式]]。这些链接分别回答“边与角”和“边与面积”，不必在一道题里强用所有工具。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/2-1-vectors-in-the-plane OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1]：向量合成与位移。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/2-3-the-dot-product OpenStax，同书 §2.3]：数量积、投影与功。
* 继续阅读：[[平面向量基本定理与坐标表示]]、[[正弦定理]]、[[余弦定理]]。
[[分类:几何]]
[[分类:应用与建模]]
[[分类:高中数学]]