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复平面上的非零点可以用“离原点多远”和“从正实轴转了多少角”来定位。若 <math>z=a+bi\ne0</math>，令 <math>r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}>0</math>，取一个从正实轴到 <math>(a,b)</math> 的角 <math>\theta</math>，就有 <math>a=r\cos\theta</math>、<math>b=r\sin\theta</math>。于是
<math display="block">z=r(\cos\theta+i\sin\theta).</math>
这叫'''复数的三角表示'''。<math>r</math> 唯一，幅角 <math>\theta</math> 只在相差整数个 <math>2\pi</math> 的意义下确定；零复数没有确定幅角。

== 从坐标读出正确象限 ==
取 <math>z=\sqrt3+i</math>，模为 <math>2</math>，点在第一象限，故可取 <math>\theta=\pi/6</math>：
<math display="block">z=2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right).</math>
若改为 <math>-1+i</math>，模为 <math>\sqrt2</math>，点在第二象限，可取幅角 <math>3\pi/4</math>。只计算 <math>\arctan(b/a)=\arctan(-1)=-\pi/4</math> 会落到第四象限；反正切值还要结合两坐标的符号判断。复数的坐标与幅角应能在同一图上互相核对。

[[File:Gezhi-highschool2-complex-polar.svg|frame|center|alt=复数根号三加i的点位于第一象限，半径二与正实轴夹角三十度，并标出水平根号三和竖直一|横纵分量分别是 <math>r\cos\theta</math> 与 <math>r\sin\theta</math>。]]

== 乘积为什么把角相加 ==
把 <math>z_1=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> 与 <math>z_2=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)</math> 相乘，先用 <math>i^2=-1</math> 展开：实部系数为 <math>\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math>，虚部系数为 <math>\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math>。由[[三角恒等式|和角公式]]，它们正是 <math>\cos(\alpha+\beta)</math> 与 <math>\sin(\alpha+\beta)</math>，所以
<math display="block">z_1z_2=r_1r_2[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)].</math>
这既解释了模相乘，也解释了方向相加。对 <math>z_2\ne0</math>，除法相应地把模相除、把幅角相减；它是“乘以逆数”，不是把角度直接除以角度。

以前面的 <math>z=\sqrt3+i</math> 为例，平方的模是 <math>2^2=4</math>，幅角是 <math>\pi/3</math>，所以 <math>z^2=4(1/2+i\sqrt3/2)=2+2\sqrt3 i</math>。直角形式也给出 <math>(\sqrt3+i)^2=3+2\sqrt3 i-1=2+2\sqrt3 i</math>，两条路线一致。重复相乘可归纳出 <math>z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)</math>（正整数 <math>n</math>）；负整数幂还需 <math>z\ne0</math>。

练习：<math>z=2i</math> 的模与一个幅角分别是多少？点为 <math>(0,2)</math>，模 2、幅角 <math>\pi/2</math>；同一数也可取 <math>\pi/2+2k\pi</math>，<math>k\in\mathbb Z</math>。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-5-polar-form-of-complex-numbers OpenStax，Precalculus 2e，§8.5]：复数的极坐标形式与乘法。
* 继续阅读：[[复数的四则运算]]、[[任意角与诱导公式]]、[[欧拉公式]]。
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[[分类:高中数学]]