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'''欧氏几何'''（Euclidean geometry）研究通常的平面与空间中的点、直线、距离和角度。它既可以用圆规、直尺和几何推理研究，也可以在直角坐标系中用方程计算。三角形内角和为两个直角、直角三角形满足勾股定理，都是欧氏几何的基本结论。

== 一个等距问题 ==
在平面上有两个站点 <math>A,B</math>，相距六千米。要选一个地点，使它到两个站点的直线距离相同，这样的地点有哪些？

线段中点显然满足要求。从中点向上或向下移动，沿垂直于 <math>AB</math> 的直线走，得到的点也满足要求。原因是：两边直角三角形的一条直角边都是三千米，另一条直角边相同，斜边便相等。这条经过中点、垂直于原线段的直线称为'''垂直平分线'''。

为了找出全部等距点，把中点取为坐标原点，让 <math>AB</math> 沿横轴放置。于是 <math>A=(-3,0)</math>、<math>B=(3,0)</math>。对任意点 <math>P=(x,y)</math>，勾股定理给出
<math display="block">PA^2=(x+3)^2+y^2,\qquad PB^2=(x-3)^2+y^2.</math>
距离非负，所以等距等价于距离平方相等。两式相减：
<math display="block">PA^2-PB^2=(x+3)^2-(x-3)^2=12x.</math>
因此 <math>PA=PB</math> 恰在 <math>x=0</math> 时成立。横坐标为零、纵坐标任意的点，正好组成那条垂直平分线。这个计算同时说明它没有漏掉其他等距地点。

== 什么是定义，什么需要证明 ==
“垂直平分线”这个名称规定了两件事：经过线段中点，且与线段垂直。这是定义。“这条线上恰好包含所有到两端等距的点”则是需要证明的性质。上一节用距离平方完成了证明。

几何还需要一些更基本的出发点。例如通过两个不同点有唯一一条直线，给定圆心与正半径可以作圆。这些存在性和关系的规定称为公理或公设。在一套公理中，已经推导出来的结论称为定理。圆规画出的弧提供构造，证明则说明为什么所得点具有所要求的性质。

欧氏几何的一个关键出发点是平行公理。它的常用表述是：在同一平面中，给定一条直线和线外一点，恰有一条经过该点、与原直线不相交的直线。这里“同一平面”有实际作用：在三维中，两条不相交直线可能位于不同方向的平面中，称为异面直线。

== 用两个圆构造一个三角形 ==
继续使用站点 <math>A,B</math>，这次要求新地点 <math>C</math> 到两站的距离都为六千米。先以 <math>A</math> 为圆心画半径六的圆，再以 <math>B</math> 为圆心画同样大小的圆。两圆交点到两圆心都为六，连起来便得到等边三角形。

这个构造是《几何原本》第一卷命题一的思路。在坐标中还可算出交点的位置。仍取 <math>A=(-3,0),B=(3,0)</math>，两个圆的方程为
<math display="block">(x+3)^2+y^2=36,\qquad(x-3)^2+y^2=36.</math>
相减仍然得到 <math>12x=0</math>。将 <math>x=0</math> 代回任一式：
<math display="block">9+y^2=36,\qquad y^2=27,\qquad y=\pm3\sqrt3.</math>
因此两个交点为 <math>(0,3\sqrt3)</math> 与 <math>(0,-3\sqrt3)</math>，在线段两侧各有一个。两点都在前一节求出的垂直平分线上；加上“到站点距离为六”的条件，便把一整条候选直线缩小为两个点。

若线段长改为 <math>s>0</math>，并设 <math>A=(0,0),B=(s,0)</math>，相同计算得到 <math>C=(s/2,\pm\sqrt3s/2)</math>。其中 <math>\sqrt3s/2</math> 就是等边三角形的高。

== 平行线怎样说明三个内角的和 ==
对非退化三角形 <math>ABC</math>，通过顶点 <math>C</math> 作一条与 <math>AB</math> 平行的直线。沿这条新直线从左到右看，<math>CA</math> 与 <math>CB</math> 把一个平角分成三部分。中间一部分是原来的 <math>\angle C</math>；两侧的角分别与 <math>\angle A,\angle B</math> 互为平行线的内错角，所以分别相等。于是
<math display="block">\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.</math>
在等边三角形中，全等或对称性说明三个角相等，因而每个角为 <math>60^\circ</math>。这不是从一幅画中量出的近似数，而是由边的相等和角和推出的精确结果。

同样，凸五边形可以从一个顶点连到两个不相邻顶点，分成三个三角形，内角和为 <math>3\times180^\circ=540^\circ</math>。一般凸 <math>n</math> 边形分成 <math>n-2</math> 个三角形，内角和为 <math>(n-2)180^\circ</math>。非凸简单多边形也有这样的角和，但要选择留在内部的三角剖分。

平行假设决定了上述角和。球面上取北极与赤道上经度相差九十度的两点，以大圆弧相连，三个内角都是直角，角和为 <math>270^\circ</math>。这些边是球面弧，不是欧氏平面直线，因而属于另一种几何。

== 坐标、位移和角度 ==
坐标是点的位置记录。若 <math>P=(1,2)</math>、<math>Q=(4,6)</math>，从 <math>P</math> 到 <math>Q</math> 的位移为 <math>Q-P=(3,4)</math>，长度为五。把原点挪到别处，两点坐标都改变，坐标差却不变。

在直角坐标中，对向量 <math>u=(u_1,u_2)</math>、<math>v=(v_1,v_2)</math>，定义点积
<math display="block">u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2.</math>
长度平方是 <math>u\cdot u</math>。两个非零向量的夹角 <math>\theta</math> 由
<math display="block">\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}</math>
给出。特别地，点积为零意味着夹角为直角。例如 <math>(3,4)</math> 与 <math>(-4,3)</math> 的点积为 <math>-12+12=0</math>，两方向垂直。零向量不提供方向，因此不使用这条角度公式。

直线也可用位移表达：经过点 <math>P</math>、方向为非零向量 <math>v</math> 的直线是所有 <math>P+tv</math>，其中 <math>t</math> 遍历实数。改变 <math>t</math> 就沿直线前后移动。圆的方程则要求到圆心的距离固定。参数式说明怎样遍历直线，距离式说明怎样检验一个点是否在圆上。

这些简单公式采用互相垂直、单位相同的坐标轴。如果轴是斜的，距离仍可计算，但会出现交叉项；这在[[勾股定理]]中有具体例子。

== 移动图形后，什么保持不变 ==
把前面的等边三角形整体平移或旋转，三边仍为六，三个角仍为六十度。把它关于 <math>AB</math> 反射，上方交点变为下方交点，得到的三角形也有相同的边长和角度。平移、旋转和反射都保持任意两点间的距离，称为'''等距变换'''；能由这样的变换重合的图形称为'''全等'''。

给定三角形三边，并满足严格三角形不等式，就确定一个全等类型。其原因可用两圆构造理解：固定一条边的两端，其余两边确定两个半径，两圆的两个可能交点关于底边反射，得到全等的三角形。两边及其夹角也足以确定全等类型；若给的是两边和非夹角，圆与一条射线可能有两个距离不同的交点，便可能得到两个不全等三角形。

若把图形统一放大两倍，角不变，长度变为两倍，面积变为四倍，这称为相似。只沿横向拉伸则不同：圆会变成椭圆，角通常也改变。研究一个变换时，先确定它保留长度、角度还是只有平行关系，就能知道哪些几何结论可继续使用。

三角形三边若满足 <math>a+b=c</math>，两圆只在底线上相切，三点共线，面积为零。若 <math>a+b<c</math>，圆不能相交，三角形不存在。因此三角形不等式同时是“折线比直线长”的性质与作图能够完成的条件。

== 从等距点到定位 ==
如果再增加第三个与 <math>A,B</math> 不共线的站点 <math>D</math>，要求新地点到三站一样远，那么它既要在 <math>AB</math> 的垂直平分线上，又要在 <math>AD</math> 的垂直平分线上。两线交点就是三角形 <math>ABD</math> 的外心。

取 <math>D=(0,4)</math>，前面已知候选点形如 <math>P=(0,y)</math>。令 <math>PA^2=PD^2</math>，得到
<math display="block">9+y^2=(y-4)^2=y^2-8y+16.</math>
消去 <math>y^2</math> 后，<math>8y=7</math>，所以外心为 <math>(0,7/8)</math>。它到三点的距离都是 <math>25/8</math>：到 <math>D</math> 是 <math>4-7/8=25/8</math>，到 <math>A</math> 的距离平方为 <math>9+49/64=625/64</math>。

这一定位用的是直线距离。若真实通行必须沿道路，等路程地点未必落在垂直平分线上；几何模型应由题目所要求的距离来选择。

== 历史 ==
欧几里得约在公元前 300 年前后活动于亚历山大里亚。《几何原本》把几何和数论材料组织成由定义、公设到命题的演绎体系，第一卷开头的等边三角形构造就是其中的例子。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ MacTutor：Euclid]

古典证明中的点线顺序、交点存在性等细节，在后来的基础研究中得到更明确的处理。希尔伯特于 1899 年出版《几何基础》，系统区分关联、顺序、全等、平行与连续性等公理。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ MacTutor：Hilbert] 这些工作使综合作图与坐标模型之间的联系有了更精确的基础。

== 参考资料与知识联系 ==
* Euclid，[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html Elements，Book I]，David E. Joyce 编注：定义、公设与初等构造。
* MacTutor，University of St Andrews：[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ Euclid]、[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ David Hilbert]。可参阅人物背景与《几何基础》出版年代。
* 前置：[[集合]]；相关：[[勾股定理]]、[[向量空间]]、[[圆锥曲线]]；进一步比较：[[拓扑空间]]、[[环面]]。
[[分类:几何]]