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'''离散型随机变量的均值与方差'''分别记录分布的中心与围绕中心的平方偏离。若 <math>X</math> 的取值 <math>x_i</math> 对应概率 <math>p_i</math>，且相关和有限，则
<math display="block">E(X)=\sum_i x_ip_i,\qquad
\operatorname{Var}(X)=\sum_i(x_i-E(X))^2p_i.</math>
均值是概率加权的数值，方差的单位是原变量单位的平方；标准差 <math>\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}</math> 才回到原单位。

== 一张分布列的逐项计算 ==
沿用[[离散型随机变量的分布列]]的抽卡例子：5 张卡中 2 张标记，不放回抽 2 张，标记数 <math>X</math> 以 <math>3/10,6/10,1/10</math> 的概率分别取 0、1、2。均值为
<math display="block">E(X)=0\cdot\frac3{10}+1\cdot\frac6{10}+2\cdot\frac1{10}=\frac45=0.8.</math>
它表示多次重复同一抽卡试验时的平均标记数，不要求一次试验出现 0.8 张卡。

为计算方差，先求平方的期望：
<math display="block">E(X^2)=0^2\cdot\frac3{10}+1^2\cdot\frac6{10}+2^2\cdot\frac1{10}=1.</math>
展开平方并利用 <math>E(X)=\mu</math>，可得 <math>E[(X-\mu)^2]=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2=E(X^2)-\mu^2</math>。因此
<math display="block">\operatorname{Var}(X)=1-(4/5)^2=9/25=0.36,\qquad\sigma_X=3/5=0.6.</math>
若直接按定义核对，三项贡献依次为 <math>(0-0.8)^2(0.3)=0.192</math>、<math>(1-0.8)^2(0.6)=0.024</math>、<math>(2-0.8)^2(0.1)=0.144</math>，相加仍是 0.36。前面的快速式不是新定义，而是同一平方和的整理。

== 数值变换与常见误用 ==
若每张标记卡计 5 分，并另给所有人 2 分，总分 <math>Y=5X+2</math>。期望满足 <math>E(Y)=5E(X)+2=6</math> 分；加上的固定 2 分不会改变离散程度，乘 5 则把每个偏离均值的距离放大 5 倍，所以
<math display="block">\operatorname{Var}(Y)=5^2\operatorname{Var}(X)=9\ \text{分}^2.</math>
一般 <math>\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)</math>。给方差写成“9 分”会漏掉平方单位。

非线性函数不能先取均值再代入：本例 <math>E(X^2)=1</math>，但 <math>[E(X)]^2=0.64</math>。两者之差恰是方差，故只要 <math>X</math> 不是几乎必然常数，它们就不会相等。更一般的[[期望]]词条讨论加法与条件期望；这里的逐项计算只需一张完整分布列。

'''试算。'''若奖金为 <math>Z=10-2X</math> 元，平均奖金 <math>E(Z)=10-2(0.8)=8.4</math> 元，方差 <math>\operatorname{Var}(Z)=(-2)^2(0.36)=1.44</math> 平方元。负号改变“标记越多奖金越少”的方向，不会使方差变成负数。

== 参考资料 ==
* [https://online.stat.psu.edu/stat414/Lesson08 Penn State STAT 414，第 8 课]：离散变量的期望、方差与性质。
[[分类:高中数学]]
[[分类:概率与统计]]