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'''超几何分布'''描述有限总体中'''不放回'''地抽取固定数量，数出抽中的标记对象有多少。设总体有 <math>N\ge1</math> 个互不相同的对象，其中 <math>K</math> 个标记、<math>N-K</math> 个未标记；从中等可能地选出 <math>n</math> 个，要求 <math>0\le K,n\le N</math>。令 <math>X</math> 为样本中的标记数，则
<math display="block">P(X=k)=\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn},
\quad
\max(0,n-N+K)\le k\le\min(n,K).</math>
超出这个整数范围的概率为零。下界表示样本太大时即使尽量选未标记，也不得不选若干标记；上界既不能超过样本大小，也不能超过总体中的标记数。

== 组合数逐项从哪里来 ==
[[离散型随机变量的分布列]]里，<math>N=5,K=2,n=2</math>。全部样本是 <math>\binom52=10</math> 个两卡组合。恰有一张标记，须从两张标记卡中选一张、从三张未标记卡中选一张，分子 <math>\binom21\binom31=6</math>，概率 <math>6/10</math>。对 <math>k=0,1,2</math> 逐一计算，得到 <math>3/10,6/10,1/10</math>，其和为 1。

也可以先看事件顺序：首抽标记、次抽未标记的概率是 <math>(2/5)(3/4)=3/10</math>；反过来先未标记、再标记也是 <math>(3/5)(2/4)=3/10</math>。相加得 6/10。这与组合算法一致，但第二次的分母已经变成 4，体现“不放回”改变了下一步的条件概率。

== 均值与有限总体修正 ==
令 <math>I_j</math> 表示第 <math>j</math> 次抽取是否标记，<math>X=I_1+\cdots+I_n</math>。由于抽取顺序对称，每个位置抽中标记的边际概率都是 <math>p=K/N</math>，因此
<math display="block">E(X)=np=nK/N.</math>
期望的可加性不需要各次独立。对上面的五卡例子，均值 <math>2(2/5)=0.8</math>，与分布列直接相加吻合。

方差则会受到不放回的影响。对两个不同位置 <math>i,j</math>，同时抽中标记的概率为 <math>K(K-1)/[N(N-1)]</math>，所以
<math display="block">\operatorname{Cov}(I_i,I_j)
=\frac{K(K-1)}{N(N-1)}-\left(\frac KN\right)^2
=-\frac{p(1-p)}{N-1}\quad(N>1).</math>
负协方差意味着已抽中一个标记后，余下位置抽中的机会降低。把 <math>X</math> 的方差展开为 <math>n</math> 个自身方差与 <math>n(n-1)</math> 个有序交叉项，得到
<math display="block">\operatorname{Var}(X)
=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}\quad(N>1).</math>
其中 <math>(N-n)/(N-1)</math> 称为有限总体修正因子。本例方差 <math>2(2/5)(3/5)(3/4)=0.36</math>。若 <math>N=1</math>，抽样数只能为 0 或 1，<math>X</math> 确定，方差直接为零，不用含 <math>N-1</math> 的式子。

== 与二项分布并排看 ==
如果每次抽完'''放回'''并重新混匀，2 次结果独立，每次标记概率固定 <math>p=2/5</math>，则标记数服从 <math>\operatorname{Bin}(2,2/5)</math>。此时 <math>P(X=0,1,2)</math> 分别为 <math>0.36,0.48,0.16</math>；不放回的超几何概率为 <math>0.30,0.60,0.10</math>。图中两组柱共用纵轴，可以看到不放回时中间值更集中；方差也从二项模型的 0.48 降至 0.36。

[[File:Gezhi-highschool7-hypergeom-vs-binomial.svg|frame|center|alt=零一二三个抽中数下并列显示超几何与二项概率，超几何为零点三、零点六、零点一，二项为零点三六、零点四八、零点一六|相同 N、K、n 下，不放回的中间柱较高、两端较低；两模型的均值同为 0.8。]]

当 <math>n</math> 相对于 <math>N</math> 很小，抽走少量对象不大改变总体比例，二项模型可能给出近似；但此处样本占总体 <math>2/5</math>，把两种机制混用会明显改变两端概率。是否近似足够好还应按目标事件核对，不能只用“样本很小”一句话代替。

'''试算。'''盒中有 8 件产品，其中 3 件带标记，不放回取 3 件，恰得 2 件标记的概率为 <math>\binom32\binom51/\binom83=15/56</math>。这里不能乘上 <math>3!</math>，因为分子和分母都已经按无序三件组计数。

== 参考资料 ==
* [https://online.stat.psu.edu/stat414/Lesson07 Penn State STAT 414，第 7 课]：超几何分布与取值范围。
* [https://online.stat.psu.edu/stat414/Lesson08 Penn State STAT 414，第 8 课]：均值与方差。
[[分类:高中数学]]
[[分类:概率与统计]]