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'''高中数学选择性必修第二册学习路径'''分成两章：先研究按整数步产生的[[数列]]，再研究连续变化的[[导数]]。前一章每一步问“下一项与上一项怎样相关”，后一章把步长逐渐缩小，问“某一点附近的变化率是多少”。两章都要区分观察规律、写出公式与证明公式。

== 第四章　数列 ==
从[[数列]]开始，固定编号从 1 还是从 0，分别用通项和递推表示同一组数据。图像只能在整数横坐标上标点，不把离散点间的辅助线误当新项。接着读[[等差数列]]与[[等差数列的前n项和]]：每步加固定量时，用首尾配对得到总量。再读[[等比数列]]与[[等比数列的前n项和]]：每步乘固定量时，用错位相减让中间项抵消。

[[斐波那契数列]]说明递推不一定只有“一项记忆”。它的前 <math>n</math> 项和公式可以用[[数学归纳法]]逐步证明；若只有前几项符合某个式子，仍不足以证明所有项。[[归纳推理与类比推理]]帮助提出猜想，[[直接证明与逆否证明]]、[[反证法]]和数学归纳法则须从前提推出结论；不要把发现规律的过程写成证明。最后到[[数列求和方法]]比较配对、错位相减与裂项相消，看每种方法究竟让哪些项抵消。对无穷多项求和之前，先读[[数列的极限]]与[[无穷级数]]，辨清有限和、项的极限与部分和的极限。

'''连贯检验。'''从 2 出发，每步乘 3，前四项是 <math>2,6,18,54</math>。第 <math>n</math> 项为 <math>2\cdot3^{n-1}</math>，前四项之和为 <math>2(1-3^4)/(1-3)=80</math>。若把“乘 3”错看成“加 3”，第 3 项就会写成 8，与原递推冲突。

== 第五章　一元函数的导数及其应用 ==
先在[[斜率与平均变化率]]里计算一段区间的平均变化率，再读[[导数]]中的割线斜率如何随两点靠拢变成切线斜率。<math>f'(x)</math> 是一个新函数，<math>f'(x_0)</math> 才是它在指定点的数值；可导还要求相应极限存在。

[[基本初等函数的导数]]给出幂、指数、对数与三角函数的基础公式及定义域。随后用[[导数运算法则]]处理和、积、商，用[[链式法则]]处理函数嵌套。完整计算后可读[[牛顿法]]：它用当前点的切线预测方程根的位置，但预测好坏取决于起点和斜率。

最后读[[单调性与极值判别]]与[[导数与闭区间最值]]。导数的正负先决定局部增减，驻点和不可导点给出内部候选位置；若题目问闭区间上的最大、最小值，还要算两个端点。[[拉格朗日中值定理]]解释“某段导数保持正号，则整段函数递增”的严格依据。不要把 <math>f'(c)=0</math> 误写成“<math>c</math> 必有极值”。

'''连贯检验。'''一根 20 米绳围成长方形，边长为 <math>x</math> 与 <math>10-x</math> 米。先写 <math>0<x<10</math>，再写面积 <math>A(x)=x(10-x)</math>。由 <math>A'(x)=10-2x</math> 得面积在 5 米前增加、之后减少，最大为 25 平方米。只求出 <math>A'(5)=0</math> 而不检查两侧符号，还没有解释它为何是最大。

== 资料与阅读 ==
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/11-key-concepts OpenStax《Precalculus 2e》第 11 章概念索引]：数列与求和。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-1-defining-the-derivative OpenStax《Calculus Volume 1》§3.1]、[https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph §4.5]：导数定义与图像。
* [[高中数学必修第一册学习路径]]提供函数、指数与三角函数基础。以上讲解、算例和配图独立编写，只以章节目录安排学习次序。
[[分类:高中数学]]