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'''枪手博弈'''（truel）是三人依次行动的概率博弈。一个常见结果看似反常：命中率最低的人，起手时故意不中，可能比立即选择目标更有利。这个结论只属于给定命中率、行动顺序、目标选择与获胜标准的数学模型；以下用三名虚构参与者的胜率演算它。

规定 A、B、C 按顺序轮流行动，已经退出的人跳过；每次可选择另一名仍在场者，或主动放弃本次行动。命中后目标退出，直到仅余一人。A、B、C 的命中概率分别为 <math>1/3,2/3,1</math>，各次尝试相互独立；每个人只最大化'''自己成为最后剩余者的概率'''。三人都在场时，B 会选 C，C 会选 B；下面先把这一点核实，再算 A 的第一步。

== 先算两人阶段 ==
若只余 A、B，且轮到 A，记 A 最终胜率为 <math>W_{AB}</math>。A 本次命中概率为 <math>1/3</math>；A 未中且 B 未中后，局面回到原点。故
<math display="block">W_{AB}=\frac13+\frac23\cdot\frac13 W_{AB}
\quad\Longrightarrow\quad W_{AB}=\frac37.</math>
若先轮到 B，A 必须等 B 未中才有机会，胜率为 <math>(1-2/3)W_{AB}=1/7</math>。若只余 A、C 且轮到 A，A 唯一的机会是本次命中，胜率 <math>1/3</math>；若先轮到 C，A 的胜率为零。

== 后行动者的目标 ==
三人都在场且轮到 C 时，若 C 让 B 退出，下一轮由 A 先行动；C 在 A 未中的 <math>2/3</math> 情况下必胜。若 C 让 A 退出，下一轮由 B 先行动；C 只有在 B 未中的 <math>1/3</math> 情况下必胜。因此 C 选择 B。

轮到 B 时，若 B 命中 A，下一轮 C 先行动，B 必败；若命中 C，下一轮 A 先行动，B 在 A–B 两人阶段的胜率为 <math>1-3/7=4/7</math>。B 未命中时，C 随后会让 B 退出。因此 B 瞄准 C 的胜率为 <math>(2/3)(4/7)=8/21</math>，瞄准 A 或主动放弃本轮的胜率为零。B 的最佳选择确为 C。

== A 的三个起手选择 ==
若 A 主动不中，B 以 <math>2/3</math> 的概率让 C 退出，随后 A 先行动，A 胜率 <math>3/7</math>；B 以 <math>1/3</math> 的概率未中，C 则必让 B 退出，随后 A 先行动，A 胜率 <math>1/3</math>。所以
<math display="block">P_{\text{放弃}}=\frac23\cdot\frac37+\frac13\cdot\frac13=\frac{25}{63}\approx0.397.</math>
若 A 选择 C，以 <math>1/3</math> 的概率命中，此后由 B 先行动，A 胜率 <math>1/7</math>；未中时仍进入上一段 B 的局面。因此
<math display="block">P_{\text{选 C}}=\frac13\cdot\frac17+\frac23\cdot\frac{25}{63}=\frac{59}{189}\approx0.312.</math>
若 A 选择 B，命中后轮到 C，A 胜率为 0；未中时又回到 B 的局面，于是 <math>P_{\text{选 B}}=(2/3)(25/63)=50/189\approx0.265</math>。三个值比较得到：在本页规则下，A 第一轮主动不中的最终胜率最高。直觉上的关键不是“命中率低所以不行动”，而是 A 过早淘汰强者后，可能立刻面对另一个人先手的两人局面。

== 规则敏感性 ==
若不允许故意不中，A 的可行策略只剩选择 B 或 C，最佳起手便是选 C。若改变行动顺序、命中率、退出后下一人是谁，或把“只求最后独存”改成“只求自己存活”，上面的递推树都需重算；这里的 <math>25/63</math> 不会自动保持。它是概率与[[博弈论]]的教学例子，不是现实冲突的行动建议。

== 参考资料 ==
* [https://books.osborne.economics.utoronto.ca/ Osborne 与 Rubinstein：《A Course in Game Theory》作者书目页]，扩展式博弈、策略与最优回应的框架。
* [https://www.mit.edu/~6.7980/nfgs_nash.html MIT：纳什均衡讲义]，给定其他参与者策略时的单方最佳回应。

[[分类:博弈论]]
[[分类:概率与统计]]