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'''正态分布'''（normal distribution），也称高斯分布，是由中心位置与离散程度两个参数确定的连续[[概率分布]]。它的密度曲线呈对称钟形；某个区间的概率是曲线在该区间上方的面积。要读懂它，既要知道曲线的形状，也要分清模型中的参数、一次观测值和一组样本的平均值。

== 一袋产品的质量会落在哪里 ==
设一台设备灌装某种产品。为了讨论计算，建立一个'''合成教学模型'''：稳定工作时，随机取一袋，其质量 <math>X</math> 近似以一百克为中心波动，标准差为两克，并假设服从正态分布。记作
<math display="block">X\sim N(100,2^2).</math>
记号 <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 的第二个参数是'''方差'''；这里均值 <math>\mu=100</math> 克，标准差 <math>\sigma=2</math> 克，方差为四平方克。它不表示每袋都恰好一百克，也不表示所有质量一定落在九十八至一百零二克之间。

现在的问题是：这个模型预期有多少比例的产品落在九十六至一百零二克之间？回答需要把一个质量区间转换成曲线下的面积。这里把分布作为已给定的模型；实际设备是否适合它，还需靠测量机制和资料检验。

== 两个参数怎样改变曲线 ==
一般正态分布的密度为
<math display="block">f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right],\qquad x\in\mathbb R,\quad\mu\in\mathbb R,\quad\sigma>0.</math>
其中 <math>\exp(u)=e^u</math>。指数只含到中心的标准化距离 <math>(x-\mu)/\sigma</math>：在中心两侧距离相同，密度就相同。[https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm NIST：Normal Distribution]

先保持 <math>\sigma=2</math> 不变，把 <math>\mu</math> 从一百改为一百零四。曲线整体向右移四克，宽度与峰高不变。设备平均多灌装了多少，对应的就是中心位置移动多少。

[[File:Gezhi-dist-normal-location.svg|frame|center|alt=两条正态密度曲线的标准差都为二克，实线中心在一百克，虚线中心在一百零四克，形状完全相同|固定标准差，改变均值只平移曲线。竖虚线标出各自中心。]]

再保持 <math>\mu=100</math>，比较标准差一、二、三克。标准差越大，相同的标准化距离对应的克数越多，曲线越宽；总面积又要保持为一，所以峰顶越低。中心密度
<math display="block">f_X(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>
正好随标准差增大而减小。图中三条曲线的峰高不同，表示质量在中心附近的聚集程度不同，不表示它们总共有不同的概率。

[[File:Gezhi-dist-normal-scale.svg|frame|center|alt=均值都是一百克的三条正态密度，标准差一克的曲线最高最窄，二克次之，三克最低最宽|均值不变时，标准差控制横向展开程度；三条曲线的总面积均为一。]]

== 密度的高度不是点的概率 ==
本例在一百克处的密度为
<math display="block">f_X(100)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0.19947\ \mathrm{g}^{-1}.</math>
这是每克的密度，不能读成“恰好一百克的概率为百分之十九点九五”。在连续模型里，单点没有宽度，
<math display="block">P(X=100)=\int_{100}^{100}f_X(x)\,dx=0.</math>
而一个小区间有正的宽度。例如四舍五入到零点一克的显示值为 100.0，通常对应真值在 <math>[99.95,100.05)</math> 克。其概率近似为
<math display="block">f_X(100)\times0.10\approx0.019947,</math>
更精确的积分约为 <math>0.019945</math>。显示值是一百克与连续真值恰为一百克，是两个不同事件。

密度甚至可以大于一：若标准差只有零点一克，峰值约为 <math>3.9894\ \mathrm{g}^{-1}</math>。只要把高度乘上足够小的区间宽度再积分，总概率仍为一。密度的单位与横坐标单位相反，面积才是无单位的概率。

== 标准化：换尺子，面积保持不变 ==
把每个质量先减去中心一百，再除以标准差二，得到
<math display="block">Z=\frac{X-100}{2}.</math>
例如九十六克变成 <math>-2</math>，意思是比均值低两个标准差；一百零二克变成 <math>1</math>。标准化后的数没有克的单位。

一般地，令 <math>z=(x-\mu)/\sigma</math>，则 <math>x=\mu+\sigma z</math>、<math>dx=\sigma\,dz</math>。把这两个关系一起代入区间概率：
<math display="block">\int_a^b\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\,dx</math>
<math display="block">=\int_{(a-\mu)/\sigma}^{(b-\mu)/\sigma}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\,dz.</math>
前面的 <math>1/\sigma</math> 与宽度变化带来的 <math>\sigma</math> 相消。只缩横轴而不调整密度高度，就不能保持概率面积。

定义标准正态密度与累计分布函数
<math display="block">\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2},\qquad\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\phi(u)\,du.</math>
由上述换元可知 <math>Z\sim N(0,1)</math>，并得到统一的计算式
<math display="block">P(a\le X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).</math>

[[File:Gezhi-dist-normal-standardization.svg|frame|center|alt=上图是一百克均值二克标准差的质量密度，阴影从九十六到一百零二；下图是标准正态密度，阴影从负二到一，两片面积相等|上图的横轴以克计，下图以标准差计。密度高度与宽度同时变换，阴影概率不变。]]

回到开始的问题：
<math display="block">P(96\le X\le102)=\Phi(1)-\Phi(-2).</math>
正态积分通常用数值方法或分布表求值。本例 <math>\Phi(1)\approx0.84134475</math>、<math>\Phi(-2)\approx0.02275013</math>，相减为
<math display="block">P(96\le X\le102)\approx0.81859461.</math>
也就是在给定模型下约百分之八十一点八六。标准化图中的左边界离中心较远，右边界较近；阴影并不左右对称，因此不能直接套用“两个标准差以内”的对称面积。

== “68、95、99.7”分别有多精确 ==
对称性给出 <math>\Phi(-k)=1-\Phi(k)</math>。所以
<math display="block">P(\mu-k\sigma\le X\le\mu+k\sigma)=2\Phi(k)-1,\qquad k>0.</math>
这才是精确表达式；常见的百分比是它的近似数值。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="正态分布一二三个标准差的覆盖概率" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 范围 !! 精确表达式 !! 数值约为 !! 本例质量范围（克）
|-
| <math>\mu\pm\sigma</math> || <math>2\Phi(1)-1</math> || 68.268949% || 98 至 102
|-
| <math>\mu\pm2\sigma</math> || <math>2\Phi(2)-1</math> || 95.449974% || 96 至 104
|-
| <math>\mu\pm3\sigma</math> || <math>2\Phi(3)-1</math> || 99.730020% || 94 至 106
|}
</div>

[[File:Gezhi-dist-normal-coverage.svg|frame|center|alt=三行相同的标准正态曲线，分别填充负一到一、负二到二、负三到三，面积约为百分之六十八点二七、九十五点四五、九十九点七三|三行只扩大积分区间，没有改变分布；每一行两端仍有未填充的尾部。]]

“约百分之九十五在两个标准差以内”适合记忆；若要'''恰好百分之九十五的中央概率'''，应取 <math>k=\Phi^{-1}(0.975)\approx1.959964</math>，而不是二。这里 <math>\Phi^{-1}</math> 表示寻找累计概率达到指定值的分位数。三个标准差外仍有约 <math>0.269980\%</math> 的概率，并非不可能事件。

这些是已知分布中'''单袋质量'''的覆盖范围。估计未知总体均值的置信区间是另一问题：它的宽度还与样本量、标准差是否已知有关，见[[学生t分布]]。

== 为什么总面积为一，均值与方差又为何是这些参数 ==
以下用[[积分]]说明公式中的常数从哪里来。初次学习时可以先掌握前面的区间计算，再回来看这个证明。

令
<math display="block">I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2/2}\,dz.</math>
这个积分有限：在 <math>|z|\ge1</math> 时有 <math>e^{-z^2/2}\le e^{-|z|/2}</math>，右边尾部可积。把两个相同积分相乘，在平面上写为
<math display="block">I^2=\int_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy.</math>
被积函数非负，可以按平面区域积分。换成极坐标，<math>x^2+y^2=r^2</math>，小面积由 <math>dx\,dy</math> 变为 <math>r\,dr\,d\theta</math>。于是
<math display="block">I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,dr\,d\theta.</math>
径向积分令 <math>v=r^2/2</math>，有 <math>dv=r\,dr</math>，所以它等于 <math>\int_0^\infty e^{-v}\,dv=1</math>。角度积分等于 <math>2\pi</math>，因此 <math>I^2=2\pi</math>；因 <math>I>0</math>，得到 <math>I=\sqrt{2\pi}</math>。密度中除以 <math>\sqrt{2\pi}</math> 后，总面积恰为一。

标准正态的 <math>z\phi(z)</math> 是可积奇函数，所以 <math>E(Z)=0</math>。又有 <math>\phi'(z)=-z\phi(z)</math>，分部积分给出
<math display="block">E(Z^2)=\int_{-\infty}^{\infty}z^2\phi(z)\,dz=-[z\phi(z)]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\,dz=1.</math>
边界项为零，因为指数衰减快于一次幂增长。于是 <math>\operatorname{Var}(Z)=1</math>。一般正态变量写成 <math>X=\mu+\sigma Z</math>，便有
<math display="block">E(X)=\mu,\qquad\operatorname{Var}(X)=\sigma^2.</math>
这说明均值与方差的名称确实由积分性质支持，而不仅是对曲线参数的命名。

== 什么时候正态模型有根据 ==
若灌装误差由许多细小影响相加形成，而且没有少数影响支配整体、相关性也不过强，正态近似可能合理。这里“许多因素”是建模线索，不是无需条件的定理。一个明确的数学版本是：若 <math>X_1,X_2,\ldots</math> 独立同分布，具有有限均值 <math>\mu</math> 与有限正方差 <math>\sigma^2</math>，则中心极限定理给出
<math display="block">\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{\sqrt n(\bar X_n-\mu)}{\sigma}\le z\right)=\Phi(z),\qquad z\in\mathbb R.</math>
这里 <math>\bar X_n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>。定理说的是'''标准化样本均值的分布'''趋于正态；原始单次测量的分布不因此变成正态。[https://live.ocw.mit.edu/courses/14-30-introduction-to-statistical-method-in-economics-spring-2006/6abff411a04becee9638f8c353103ddc_l7.pdf MIT 14.30，Lecture Note 7，§18.3.2]

如果每个 <math>X_i</math> 本来就服从正态且彼此独立，则任意样本量下 <math>\bar X_n\sim N(\mu,\sigma^2/n)</math>，这是精确结论；例如本例独立取四袋，平均质量的标准差为一克，单袋质量的标准差仍为两克。一般非正态样本则只能在合适条件和足够样本下近似，且没有对所有总体都有效的“超过三十就足够”。

例如所有读数都带着同一个未经校准的偏移，重复测量不会把这个共同误差按 <math>1/\sqrt n</math> 消掉。若总体没有有限方差，上述定理的条件也不满足。即使中心部分拟合得好，极罕见尾部事件的相对误差仍可能很大，不能用一张钟形图保证极端风险的准确性。

实际质量不能为负，而正态密度在整个实线上为正。本例均值离零有五十个标准差，负质量区域的模型概率极小；若均值接近零而波动很大，这个近似就可能失去物理意义。计数、等待时间、明显偏斜或多峰的数据也各有结构，应结合[[泊松分布]]、[[指数分布]]等模型以及实际机制分析。观测资料可用[[直方图]]检查形状，用[[折线图]]检查漂移；“没有发现明显偏离”并不等于证明总体正态。

== 参考资料 ==
* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm NIST/SEMATECH e-Handbook，Normal Distribution]：密度、标准化参数、均值与标准差。
* [https://dlmf.nist.gov/7.1 NIST DLMF，§7.1]：正态累计概率与误差函数的记号关系。
* [https://dlmf.nist.gov/5.9 NIST DLMF，§5.9]：高斯型积分的 Gamma 函数表示。
* [https://live.ocw.mit.edu/courses/14-30-introduction-to-statistical-method-in-economics-spring-2006/6abff411a04becee9638f8c353103ddc_l7.pdf Herman Bennett，MIT 14.30，Lecture Note 7（2006），§18]：正态样本均值、方差以及独立同分布中心极限定理的条件。
* 相关：[[概率分布]]、[[积分]]、[[学生t分布]]、[[统计推断]]。
[[分类:概率与统计]]