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欧拉公式是复指数函数与三角函数之间的恒等式。对任意实数 <math>\theta</math>，
<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\qquad i^2=-1.</math>
这里的角度采用'''弧度制'''。公式把单位圆上的旋转写成指数运算，是复数、三角函数和振动分析之间的桥梁。

== 单位圆上的一个点 ==
[[File:Gezhi-euler-circle.svg|frame|center|alt=复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ|点的横坐标是实部，纵坐标是虚部；虚数单位 i 表示纵轴方向。]]
复数 <math>z=x+iy</math> 对应平面上的点 <math>(x,y)</math>。由 <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math> 可知，<math>e^{i\theta}</math> 的模长等于 1。

更一般地，每个非零复数都可以写成 <math>z=re^{i\theta}</math>，其中 <math>r=|z|>0</math>。角度只在相差 <math>2\pi k</math>（<math>k</math> 为整数）的意义下确定；原点没有确定的辐角。

== 为什么指数会产生三角函数 ==
复指数可由幂级数定义：
<math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>
该级数对每个复数绝对收敛，因此可以把偶数次项与奇数次项分别求和。代入 <math>z=i\theta</math>，利用 <math>i^{2k}=(-1)^k</math> 和 <math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到
<math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>
两个实级数分别是余弦和正弦的展开式。这也说明公式中的 <math>e^{i\theta}</math> 不是把实数指数的图像直接延长，而是使用了在复数范围内一致的函数定义。

== 乘法就是缩放与旋转 ==
若 <math>z_1=r_1e^{i\alpha}</math>、<math>z_2=r_2e^{i\beta}</math>，则
<math display="block">z_1z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}.</math>
模长相乘，角度相加。例如 <math>1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}</math>，所以
<math display="block">(1+i)^2=2e^{i\pi/2}=2i.</math>
直接展开也得到 <math>1+2i+i^2=2i</math>。两种算法分别突出几何结构与代数规则。

比较 <math>e^{i(\alpha+\beta)}</math> 两种写法的实部和虚部，就能得到三角函数的和角公式。对整数 <math>n</math>，还有棣莫弗公式
<math display="block">(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).</math>

== 振动与特殊值 ==
取 <math>\theta=\pi</math> 得到欧拉恒等式 <math>e^{i\pi}+1=0</math>；取 <math>\theta=\pi/2</math> 得到 <math>e^{i\pi/2}=i</math>。

在简谐振动中，<math>A\cos(\omega t+\varphi)</math> 可以表示为 <math>Ae^{i(\omega t+\varphi)}</math> 的实部。这里 <math>A</math> 为振幅，<math>\omega</math> 为角频率，<math>\varphi</math> 为初相位。复指数把微分转化为乘以 <math>i\omega</math>，便于处理线性的振动方程；最后仍需取出所需的实物理量。

== 使用时的边界 ==
* <math>e^{i\theta}=1</math> 不只发生在 <math>\theta=0</math>，而是所有 <math>\theta=2\pi k</math>。复指数不是一一对应的函数，因此复对数不能直接照搬实对数的单值规则。
* 若角度用度数表示，应先乘以 <math>\pi/180</math>。例如 90 度对应 <math>e^{i\pi/2}</math>。
* 此处的欧拉公式与多面体的欧拉公式 <math>V-E+F=2</math> 是不同结论；后者的拓扑背景可参见 [[环面]]。

== 延伸阅读 ==
* [https://www.jirka.org/diffyqs/ Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》]：复数、复指数及线性微分方程。
* [[导数]] · [[微分方程]] · [[群]]
[[分类:分析]]