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环面是与两个圆的乘积 <math>S^1\times S^1</math> 同胚的曲面，通常记作 <math>T^2</math>。常见的空间模型是“甜甜圈”的表面；数学上说的环面指表面本身，包围的三维区域称为实心环面。

== 从一个圆旋转得到曲面 ==
在空间中，让半径为 <math>r</math> 的圆绕同平面内、与圆心距离为 <math>R</math> 的轴旋转。若 <math>R>r>0</math>，得到无自交的圆环面。可用两个角度描述它：
<math display="block">\begin{aligned}x&=(R+r\cos v)\cos u,\\y&=(R+r\cos v)\sin u,\\z&=r\sin v,\end{aligned}\qquad 0\le u,v<2\pi.</math>
<math>u</math> 描述绕中心孔转一圈，<math>v</math> 描述绕管截面转一圈。两个角度都以 <math>2\pi</math> 为周期，所以参数空间是两个圆的乘积。

[[File:Gezhi-torus-identification.svg|frame|center|alt=一个正方形的上下边同向标为a，左右边同向标为b，表示将同名边上的对应点粘合|抽象环面也可以由正方形粘边得到：先粘左右边成为圆筒，再把圆筒的两端粘起来。箭头表示对应方向。]]

[[File:Gezhi-torus-surface.svg|frame|center|alt=大半径三小半径一的圆环面三维网格，网格线分别沿两个周期参数方向|参数方程生成的圆环面。网格展示两种绕行方向；表面无自交，中心孔保持打开。]]

== 面积与体积怎样计算 ==
沿两个参数方向的切向量互相垂直，长度分别为 <math>R+r\cos v</math> 和 <math>r</math>，因此面积元为
<math display="block">dA=r(R+r\cos v)\,du\,dv.</math>
对两个角度积分，余弦项在一个周期上的积分为零：
<math display="block">A=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}r(R+r\cos v)\,dv\,du=4\pi^2Rr.</math>
实心环面的体积为
<math display="block">V=2\pi^2Rr^2.</math>
一种理解方式是：截面圆盘的面积 <math>\pi r^2</math> 乘以其形心走过的路程 <math>2\pi R</math>。这使用帕普斯形心定理，旋转轴不能穿过截面内部。

例如 <math>R=3</math>、<math>r=1</math> 时，面积为 <math>12\pi^2</math>，体积为 <math>6\pi^2</math>，量纲分别是长度的平方和立方。表面积不能被误称为“环面的体积”。

== 一个孔带来的拓扑差别 ==
球面上的每条闭合曲线都能在球面内连续收缩到一点，环面上则存在不能这样收缩的闭合曲线。绕中心孔和绕管截面是两个基本方向；一个闭合路径可能沿这两个方向分别绕行多次。

在正方形粘边模型中，四个角最终成为一个顶点，两对边成为两条边，内部是一张面，因而其胞腔分解给出
<math display="block">\chi(T^2)=V-E+F=1-2+1=0.</math>
球面的欧拉示性数为 2。这里数的是'''粘合以后'''的顶点、边和面，不能直接把未粘合正方形的 4 个顶点、4 条边代入。

== 周期边界与几何区别 ==
在二维周期模型中，粒子离开矩形右边会从左边进入，离开上边会从下边进入。这种位置识别形成平坦环面，常用于避免有限区域的边缘效应。

平坦环面与空间中的圆环面有相同的拓扑类型，却有不同的距离和曲率结构。“形状可以连续变形到一起”不意味着面积、测地线或曲率相同。参数公式中的 <math>R=r</math> 会出现奇点，<math>R<r</math> 则有自交，不能继续当作通常的光滑嵌入环面。

== 延伸阅读 ==
* [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Allen Hatcher，《Algebraic Topology》]：基本群与曲面的胞腔结构。
* [[积分]] · [[群]] · [[图论]]
[[分类:几何]]