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导数描述函数在某一点的瞬时变化率。对实函数 <math>f</math>，如果差商有有限极限，定义
<math display="block">f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.</math>
此时称 <math>f</math> 在 <math>a</math> 可导。导数也表示函数图像在该点的切线斜率；若输入是时间、输出是位置，它的单位就是长度除以时间。

== 从割线走向切线 ==
差商是两点间的平均变化率。令第二个点向第一个点靠近，若割线斜率趋向同一个有限数，就得到导数。

[[File:Gezhi-derivative-tangent.svg|frame|center|alt=抛物线y等于x平方在点一一的切线，以及经过点一一和二四的割线|对 y=x²，割线斜率为 3，点 (1,1) 处切线斜率为 2；二者描述不同尺度的变化。]]
例如 <math>f(x)=x^2</math>，直接由定义计算：
<math display="block">\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h\quad(h\ne0),\qquad f'(a)=2a.</math>
在 <math>a=1</math> 处导数为 2，因此切线方程是 <math>y-1=2(x-1)</math>。从 1 到 2 的平均变化率却是 3；平均速率不能直接当成端点处的瞬时速率。

== 导数给出局部线性近似 ==
可导等价于存在展开式
<math display="block">f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h),</math>
其中余项 <math>o(h)</math> 除以 <math>h</math> 后趋于 0。这比“切线碰到曲线”更精确：当增量足够小时，一次函数给出主导变化。

例如 <math>\sqrt{4.04}\approx2+\frac14\times0.04=2.01</math>。这里使用 <math>f'(4)=1/4</math>，近似适用于 4 附近，不能把同一条切线当成整个平方根函数。对 <math>x^2</math>，一次近似的误差恰好是 <math>h^2</math>。

== 运算法则及一个复合例子 ==
在相关函数可导、分母非零的点，有
<math display="block">(fg)'=f'g+fg',\qquad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.</math>
复合函数遵循链式法则：
<math display="block">\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x).</math>
例如对 <math>y=\sin(x^2)</math>，先对外层正弦求导，再乘以内层平方的导数，得到 <math>y'=2x\cos(x^2)</math>。只写 <math>\cos(x^2)</math> 会漏掉内部变量变化的速度。三角函数的这些导数公式采用弧度制。

== 连续不一定可导 ==
可导必连续：由差商趋于有限数可得 <math>f(a+h)-f(a)\to0</math>。反过来不成立。<math>f(x)=|x|</math> 在 0 连续，但左差商为 −1，右差商为 1，所以没有导数。

某一点 <math>f'(a)=0</math> 也不保证该点是极值。<math>f(x)=x^3</math> 在 0 的导数为 0，却穿过原点继续增加。内点可导的局部极值必须满足导数为零，但这是必要条件而非充分条件；端点或不可导点也可能取得极值。

== 从点的斜率到区间的变化 ==
若函数在区间内处处可导且导数始终为正，则由中值定理可知它在该区间严格递增。单独知道某一点导数为正，不足以断言整个区间递增。

在 [[优化]] 中，导数用于寻找驻点并分析增长方向；在 [[微分方程]] 中，未知函数与其变化率构成约束。具体应用还需要考虑定义域、单位和边界条件。

== 延伸阅读 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-1-defining-the-derivative OpenStax，《Calculus Volume 1》§3.1]：导数与差商。
* [[极限]] · [[积分]] · [[优化]]
[[分类:分析]]